Classifique os sistemas em: impossével, determinado e indeterminado. E determine o conjunto solução:
\left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \\\\ 2 x-y+z=3 \\\\ 5 x+2 y+4 z=6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x+y+z=1,\\\\ 2x-y+z=3,\\\\ 5x+2y+4z=6, \end{cases}
e pede (a) a classificação — impossível, determinado ou indeterminado — e (b) o conjunto solução. Para isso, vamos aplicar eliminação de Gauss e checar a consistência e o grau de liberdade.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada e eliminando usando a primeira linha como pivô:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 2 & -1& 1 & 3\\\\ 5 & 2 & 4 & 6 \end{array}\right]
fazendo R_2\leftarrow R_2-2R_1 e R_3\leftarrow R_3-5R_1 obtemos
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & -3& -1& 1\\\\ 0 & -3& -1& 1 \end{array}\right].
As duas últimas linhas coincidem, indicando uma equação redundante.

Passo 3

Como sobram 2 equações independentes para 3 incógnitas, o sistema é indeterminado e tem um grau de liberdade.
Escolhemos z=t como parâmetro. Da segunda equação
-3y - z = 1 \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{1+z}{3} = -\frac{1+t}{3}.
Substituindo em x+y+z=1
x = 1 - y - z = 1 -\Bigl(-\tfrac{1+t}{3}\Bigr) - t = \frac{4-2t}{3}.

Resposta

O sistema é indeterminado (infinitas soluções).
O conjunto solução é
S = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x = \tfrac{4-2t}{3},\;y = -\tfrac{1+t}{3},\;z = t,\;t\in\mathbb{R}\bigr\}.

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