(2,0 pontos) Dada a superfície esférica S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 y+4 z+2=0, determine:
a) O centro e o raio da superfície esférica.
b) O plano tangente a superfície no ponto T=(1,1,0).

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície esférica
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-2y+4z+2=0
e pede duas coisas:
  • (a) o centro e o raio da esfera, que vamos obter completando quadrados;
  • (b) o plano tangente à esfera no ponto T=(1,1,0), que vamos obter usando o gradiente da função-nível.

Passo 2

Para encontrar o centro e o raio, definimos
F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-2y+4z+2
e reagrupamos cada variável para completar o quadrado:
\begin{aligned} x^{2}-2x &= (x-1)^{2}-1,\\\ y^{2}-2y &= (y-1)^{2}-1,\\\ z^{2}+4z &= (z+2)^{2}-4. \end{aligned}
Substituindo na equação F=0, vem
(x-1)^{2}-1 \;+\;(y-1)^{2}-1 \;+\;(z+2)^{2}-4 \;+\;2 \;=\;0
\Longrightarrow (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z+2)^{2}-4=0
\Longrightarrow (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z+2)^{2}=4.
Logo o centro é \bigl(1,1,-2\bigr) e o raio é \sqrt{4}=2.

Passo 3

Para o plano tangente usamos que, em nível F(x,y,z)=0, o vetor normal é \nabla F. Calculamos
\nabla F(x,y,z)=\bigl(2x-2,\;2y-2,\;2z+4\bigr).
No ponto T=(1,1,0) isso dá
\nabla F(1,1,0) = (2\cdot1-2,\;2\cdot1-2,\;2\cdot0+4) = (0,0,4).
Esse é o vetor normal ao plano tangente em T.

Passo 4

A equação do plano tangente passa por T e tem normal (0,0,4), ou seja
0\,(x-1) + 0\,(y-1) + 4\,(z-0) = 0
\Longrightarrow 4z = 0
\Longrightarrow z = 0.

Resposta

a) Centro (1,1,-2) e raio 2.
b) Plano tangente: z=0.

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