(2,0 pontos) Dada a superfície esférica
, determine:
a) O centro e o raio da superfície esférica.
b) O plano tangente a superfície no ponto
.
a) O centro e o raio da superfície esférica.
b) O plano tangente a superfície no ponto
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície esférica
e pede duas coisas:
- (a) o centro e o raio da esfera, que vamos obter completando quadrados;
- (b) o plano tangente à esfera no ponto
, que vamos obter usando o gradiente da função-nível.
Passo 2
Para encontrar o centro e o raio, definimos
e reagrupamos cada variável para completar o quadrado:
Substituindo na equação
, vem
Logo o centro é
e o raio é
.
Passo 3
Para o plano tangente usamos que, em nível
, o vetor normal é
. Calculamos
No ponto
isso dá
Esse é o vetor normal ao plano tangente em
.
Passo 4
A equação do plano tangente passa por
e tem normal
, ou seja
Resposta
a) Centro
e raio
.
b) Plano tangente: .
b) Plano tangente: