Classifique os sistemas lineares em R, de 3 incógnitas, e determine o conjunto solução de cada sistema:
\left\{\begin{array} { c } { x + 2 y + 3 z = 4 } \\ { 2 x + 3 y + 4 z = 3 } \end{array} \right. \[\left\{\begin{array} { c } { 6 x - 4 y + 1 2 z = 2 } \\ { 9 x - 6 y + 1 8 z = 3 } \end{array} \right. \[\left\{\begin{array} { c } { 3 x - 5 y + 2 z = 3 } \\ { 4 x - 3 y + z = 4 } \\ { 6 x - 1 0 y + 4 z = 5 } \end{array} \right. \[\left\{\begin{array}{c}5732 x+2134 y+2134 z=7866 \\ 2134 x+5732 y+2134 z=670 \\ 2134 x+2134 y+5732 z=11464\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para classificar, em \mathbb{R}, quatro sistemas lineares de três incógnitas segundo o número de soluções (possível e determinado, possível e indeterminado, impossível) e determinar o conjunto- -solução de cada um. Para isso vamos usar a teoria de postos: calcular o posto da matriz de coeficientes A e o posto da matriz ampliada [A|\mathbf b], comparar com o número de incógnitas n=3 e, se houver soluções, parametrizar.

Passo 2

Considere o sistema
\begin{cases} x +2y +3z =4,\\\\ 2x+3y+4z =3. \end{cases}
A matriz de coeficientes é
A=\begin{pmatrix}1&2&3\\\ 2&3&4\end{pmatrix}.
As duas linhas são LI (não há escalar \lambda tal que (2,3,4)=\lambda(1,2,3)), logo \mathrm{rank}(A)=2. Como o vetor (4,3) também não se relaciona por múltiplo escalar com (1,2,3), temos \mathrm{rank}([A|\mathbf b])=2. Como \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A|\mathbf b])=2<3, o sistema é possível e indeterminado, com 3-2=1 parâmetro livre.
Para parametrizar, tome z=t. Da primeira equação
x+2y+3t=4\implies x=4-2y-3t,
substituindo na segunda:
2(4-2y-3t)+3y+4t=3\implies8-4y-6t+3y+4t=3\implies -y-2t=-5\implies y=5-2t.
Então
x=4-2(5-2t)-3t=-6+t,
logo a solução é
(x,y,z)=(-6+t,\;5-2t,\;t)=(-6,5,0)+t\,(1,-2,1),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Considere
\begin{cases} 6x-4y+12z=2,\\\\ 9x-6y+18z=3. \end{cases}
Note que a segunda linha é 1{,}5 vezes a primeira ( 6\cdot1{,}5=9, etc.) e o termo independente 2\cdot1{,}5=3. Logo \mathrm{rank}(A)=1 e \mathrm{rank}([A|\mathbf b])=1. Como 1<3, o sistema é possível e indeterminado, com 3-1=2 parâmetros livres. Escrevendo a única equação reduzida
6x-4y+12z=2\quad\Longleftrightarrow\quad3x-2y+6z=1,
tome y=s e z=t. Aí
3x=1+2s-6t\implies x=\tfrac13+\tfrac23s-2t,
então
(x,y,z)=\Bigl(\tfrac13+\tfrac23s-2t,\;s,\;t\Bigr), \quad s,t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Considere
\begin{cases} 3x-5y+2z=3,\\\\ 4x-3y+z=4,\\\\ 6x-10y+4z=5. \end{cases}
A terceira equação em coeficientes é 2 vezes a primeira, pois (6,-10,4)=2\,(3,-5,2), mas o termo independente 5\neq2\cdot3=6. Isso gera uma linha 0=5-6, impossível. Logo \mathrm{rank}(A)=2 mas \mathrm{rank}([A|\mathbf b])=3, e o sistema é impossível (não há solução).

Passo 5

Considere
\begin{cases} 5732x+2134y+2134z=7866,\\\\ 2134x+5732y+2134z=670,\\\\ 2134x+2134y+5732z=11464. \end{cases}
Somando as variáveis definimos S=x+y+z. Da primeira equação:
5732x+2134(S-x)=7866\implies3598x+2134S=7866.
Analogamente das outras tiramos
3598y+2134S=670, \quad 3598z+2134S=11464.
Igualando as expressões para 2134S obtemos
3598(x-y)=7196\implies x-y=2,\quad 3598(x-z)=-3598\implies x-z=-1.
Logo y=x-2 e z=x+1. Então S=3x-1. Substituindo em 3598x+2134S=7866:
3598x+2134(3x-1)=7866\implies10000x=10000\implies x=1,
daí y=-1, z=2. Neste caso \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A|\mathbf b])=3 e as três incógnitas têm valor único: o sistema é possível e determinado, com solução (1,-1,2).

Resposta

  1. possível e indeterminado; \displaystyle \{(-6,5,0)+t\,(1,-2,1)\mid t\in\mathbb{R}\}. 2) possível e indeterminado; \displaystyle \Bigl\{(\tfrac13+\tfrac23s-2t,\;s,\;t)\mid s,t\in\mathbb{R}\Bigr\}. 3) impossível; sem solução.
  2. possível e determinado; \displaystyle \{(1,-1,2)\}.

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