Classifique os sistemas lineares sobre R, de 2 incógnitas, e determine o conjunto solução de cada sistema:
\left\{\begin{array}{c}2 m-n=6 \\\\ 3 m+2 n=23\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear de duas incógnitas m e n:
\begin{cases} 2m - n = 6,\\\\ 3m + 2n = 23.
O objetivo é classificar o sistema (única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução) e, em seguida, determinar seu conjunto-solução. Para isso, vamos usar o cálculo do determinante da matriz de coeficientes e, como ele for não nulo, aplicar Cramer ou substituição.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante \Delta:
\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1\\\\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2\cdot2 - (-1)\cdot3 = 4 + 3 = 7.

Passo 3

Como \Delta = 7 \neq 0, o sistema é possível e determinado (SPD), ou seja, possui exatamente uma solução.

Passo 4

Para encontrar a solução, usamos substituição. Da primeira equação, isolamos n:
n = 2m - 6.
Substituindo na segunda equação:
3m + 2(2m - 6) = 23 \quad\Longrightarrow\quad 3m + 4m - 12 = 23 \quad\Longrightarrow\quad 7m = 35.

Passo 5

Da última igualdade segue
m = \frac{35}{7} = 5
e, voltando em n = 2m - 6:
n = 2\cdot5 - 6 = 4.

Resposta

O sistema é possível e determinado, e seu conjunto-solução é
\{(m,n)\} = \{(5,4)\}.

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