Classifique os sistemas lineares em R , de 3 incógnitas, e determine o conjunto solução de cada sistema:
\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+2 \mathrm{y}+3 \mathrm{z}=4 \\\\ 2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+4 \mathrm{z}=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear em \mathbb{R}^3 com duas equações e três incógnitas:
\begin{cases} x + 2y + 3z = 4,\\\\ 2x + 3y + 4z = 3.
O conteúdo aqui é classificação de sistema (posto da matriz de coeficientes e do ampliado) e resolução via eliminação de Gauss para obter a solução geral.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes A e a matriz ampliada [A\mid b]:
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix},\quad [A\mid b] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 2 & 3 & 4 & 3 \end{pmatrix}.
As duas linhas de A não são múltiplas, logo \mathrm{rank}(A)=2. Como a linha adicional de [A\mid b] também não gera contradição, temos \mathrm{rank}([A\mid b])=2. Como o número de incógnitas é 3 e o posto é 2, o sistema é compatível indeterminado, com dimensão do espaço solução igual a 3-2=1.

Passo 3

Para achar a solução, escolhemos z como parâmetro (digamos z=t). Da primeira equação:
x + 2y + 3t = 4 \quad\Rightarrow\quad x = 4 - 2y - 3t.
Substituindo em 2x+3y+4z=3:
2(4 - 2y - 3t) + 3y + 4t = 3 \quad\Longrightarrow\quad 8 - 4y - 6t + 3y + 4t = 3 \quad\Longrightarrow\quad -y -2t = -5 \quad\Longrightarrow\quad y = 5 - 2t.
Então
x = 4 - 2(5 - 2t) - 3t = 4 - 10 + 4t - 3t = -6 + t.

Passo 4

Logo, a solução geral é
(x,y,z) = (-6 + t,\;5 - 2t,\;t), \quad t\in\mathbb{R}.
Em forma vetorial:
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\\ 5\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}, \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

O sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções) e
\{(x,y,z)\mid(x,y,z)=(-6,5,0)+t\,(1,-2,1),\;t\in\mathbb{R}\}.

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