Classifique os sistemas lineares em R , de 3 incógnitas, e determine o conjunto solução de cada sistema: \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+2 \mathrm{y}+3 \mathrm{z}=4 \\\\ 2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+4 \mathrm{z}=3\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema linear em \mathbb{R}^3 com duas equações e três incógnitas:
O conteúdo aqui é classificação de sistema (posto da matriz de coeficientes e do ampliado) e resolução via eliminação de Gauss para obter a solução geral.
Passo 2
Montamos a matriz de coeficientes A e a matriz ampliada [A\mid b]:
As duas linhas de A não são múltiplas, logo \mathrm{rank}(A)=2. Como a linha adicional de [A\mid b] também não gera contradição, temos \mathrm{rank}([A\mid b])=2. Como o número de incógnitas é 3 e o posto é 2, o sistema é compatível indeterminado, com dimensão do espaço solução igual a 3-2=1.
Passo 3
Para achar a solução, escolhemos z como parâmetro (digamos z=t). Da primeira equação:
x + 2y + 3t = 4 \quad\Rightarrow\quad x = 4 - 2y - 3t.