Um sistema de equações que relaciona a produção de uma fábrica é dado por:
\left\{\begin{array}{l} x+2 y+3 z=10 \\\\ 2 x+5 y+8 z=25 \\\\ 3 x+7 y+11 z=30 \end{array}\right.
Use o Teorema de Rouché-Capelli para decidir se o sistema possui solução. Em caso afirmativo, classifique-a (possível determinado ou possível indeterminado).

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} x + 2y + 3z = 10,\\\\ 2x + 5y + 8z = 25,\\\\ 3x + 7y + 11z = 30, \end{cases}
e pede para aplicar o Teorema de Rouché–Capelli, que diz que o sistema é possível se, e somente se, o posto da matriz dos coeficientes A for igual ao posto da matriz aumentada [A\,|\,\mathbf b]. Se esse posto for igual ao número de incógnitas, a solução é única; caso contrário, há infinitas soluções.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes:
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 2 & 5 & 8\\\\ 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante de A para obter seu posto:
\det(A) =1\cdot(5\cdot11-8\cdot7) -2\cdot(2\cdot11-8\cdot3) +3\cdot(2\cdot7-5\cdot3).
Fazendo as contas,
5\cdot11-8\cdot7=55-56=-1,\quad 2\cdot11-8\cdot3=22-24=-2,\quad 2\cdot7-5\cdot3=14-15=-1,
logo
\det(A)=1\cdot(-1)-2\cdot(-2)+3\cdot(-1) =-1+4-3=0.
Na verdade, esse cálculo dá \det(A)=0. Isso indica que o posto de A é menor que 3. Vamos verificar se é 2.

Passo 3

Para confirmar que o posto de A é 2, basta observar que qualquer menor 2\times2 não nulo garante posto >=2. Por exemplo,
\det\!\begin{pmatrix}1&2\\\ 2&5\end{pmatrix} =1\cdot5-2\cdot2=5-4=1\neq0,
então \operatorname{rank}(A)=2. A matriz aumentada é
[A\,|\,\mathbf b] =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 10\\\\ 2 & 5 & 8 & 25\\\\ 3 & 7 & 11 & 30 \end{pmatrix}.
Fazendo operação de linha L_3 \leftarrow L_3 - L_1 - L_2 na aumentada:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 10\\\\ 2 & 5 & 8 & 25\\\\ 3-1-2 & 7-2-5 & 11-3-8 & 30-10-25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 10\\\\ 2 & 5 & 8 & 25\\\\ 0 & 0 & 0 & -5 \end{pmatrix}.
Como aparece a linha (0\;0\;0\;|\;-5), temos \operatorname{rank}([A\,|\,\mathbf b])=3.

Passo 4

Comparando os postos:
\operatorname{rank}(A)=2, \quad \operatorname{rank}([A\,|\,\mathbf b])=3.
Como \operatorname{rank}(A)\neq\operatorname{rank}([A\,|\,\mathbf b]), pelo Teorema de Rouché–Capelli o sistema é impossível.

Resposta

O sistema não possui solução.

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