Classifique os sistemas lineares em R , de 3 incógnitas, e determine o conjunto solução de cada sistema:
\left\{\begin{array}{l}6 \mathrm{x}-4 \mathrm{y}+12 \mathrm{z}=2 \\\\ 9 \mathrm{x}-6 \mathrm{y}+18 \mathrm{z}=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear em \mathbb{R} com três incógnitas x,y,z e duas equações:
\begin{cases} 6x - 4y + 12z = 2,\\\\ 9x - 6y + 18z = 3. \end{cases}
O conteúdo é estudo de sistemas lineares: vamos determinar o posto da matriz dos coeficientes, verificar consistência e classificar o sistema (incompatível, determinado ou indeterminado) e então achar o conjunto solução.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e fazemos operações elementares:
\bigl[\,A\mid b\,\bigr] = \begin{bmatrix} 6 & -4 & 12 & \vline & 2\\\\ 9 & -6 & 18 & \vline & 3 \end{bmatrix}.
Observe que a segunda linha é 1{,}5 vezes a primeira, pois
9 = 1{,}5\cdot6,\quad -6 = 1{,}5\cdot(-4),\quad 18 = 1{,}5\cdot12,\quad 3 = 1{,}5\cdot2.
Fazendo L_2 \leftarrow L_2 - 1{,}5\,L_1 obtemos
\begin{bmatrix} 6 & -4 & 12 & \vline & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & \vline & 0 \end{bmatrix}.

Passo 3

Como o posto da matriz de coeficientes é 1 e o posto da matriz aumentada também é 1, o sistema é consistente com menos equações independentes que incógnitas. Logo, trata-se de um sistema indeterminado com infinitas soluções.

Passo 4

Retornando à equação não redundante,
6x - 4y + 12z = 2,
isolamos x:
x = \frac{2 + 4y - 12z}{6} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}y - 2z.
Como temos 3 incógnitas e apenas 1 equação independente, escolhemos parâmetros livres para y e z. Seja
y = s,\quad z = t,\quad s,t\in\mathbb{R}.
Então
x = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}s - 2t.

Resposta

O sistema é indeterminado (infinitas soluções) e o conjunto-solução é
\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x = \tfrac{1}{3} + \tfrac{2}{3}s - 2t,\;y = s,\;z = t,\;s,t\in\mathbb{R}\bigr\}.

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