e a matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr] com b=(1,2,3)^\mathsf{T}. Pelo teorema, se \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}\bigl[A\mid b\bigr]=r<n há infinitas soluções;
se \mathrm{rank}(A)<\mathrm{rank}\bigl[A\mid b\bigr] não há solução;
se \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}\bigl[A\mid b\bigr]=n há solução única. Aqui n=3.
Passo 2
Calculamos primeiro \mathrm{rank}(A). O determinante de A é
Agora \mathrm{rank}\bigl[A\mid b\bigr]. Sabemos que \mathrm{rank}\bigl[A\mid b\bigr]\ge\mathrm{rank}(A)=2. Para ver que não cresce para 3, basta verificar que todo menor de ordem 3 envolvendo a coluna de termos independentes é zero. Por exemplo, usando as colunas 1, 2 e 4 de \bigl[A\mid b\bigr]: