Considere o sistema:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=1 \\\\ 2 x+3 y+z=2 \\\\ 3 x+4 y+2 z=3 \end{array}\right.
Use o Teorema de Rouché-Capelli para determinar o número de soluções.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x+y+z=1,\\\\ 2x+3y+z=2,\\\\ 3x+4y+2z=3, \end{cases}
e pede o número de soluções usando o Teorema de Rouché-Capelli (teorema dos postos). Vamos montar a matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 3 & 1\\\\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}
e a matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr] com b=(1,2,3)^\mathsf{T}. Pelo teorema, se \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}\bigl[A\mid b\bigr]=r<n há infinitas soluções;
se \mathrm{rank}(A)<\mathrm{rank}\bigl[A\mid b\bigr] não há solução;
se \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}\bigl[A\mid b\bigr]=n há solução única. Aqui n=3.

Passo 2

Calculamos primeiro \mathrm{rank}(A). O determinante de A é
\det(A) =\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 3 & 1\\\\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix} =1\cdot(3\cdot2-1\cdot4)-1\cdot(2\cdot2-1\cdot3)+1\cdot(2\cdot4-3\cdot3) =2-1-1=0,
logo \mathrm{rank}(A)<3. Para ver que \mathrm{rank}(A)\ge2, basta achar um menor de ordem 2 não nulo, por exemplo
\det\begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 2 & 3 \end{pmatrix} =1\cdot3-1\cdot2=1\neq0.
Concluímos \mathrm{rank}(A)=2.

Passo 3

Agora \mathrm{rank}\bigl[A\mid b\bigr]. Sabemos que \mathrm{rank}\bigl[A\mid b\bigr]\ge\mathrm{rank}(A)=2. Para ver que não cresce para 3, basta verificar que todo menor de ordem 3 envolvendo a coluna de termos independentes é zero. Por exemplo, usando as colunas 1, 2 e 4 de \bigl[A\mid b\bigr]:
\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 3 & 2\\\\ 3 & 4 & 3 \end{pmatrix} =1\cdot(3\cdot3-2\cdot4)-1\cdot(2\cdot3-2\cdot3)+1\cdot(2\cdot4-3\cdot3) =1-0-1=0.
Análogos para as outras escolhas de colunas dão zero. Assim \mathrm{rank}\bigl[A\mid b\bigr]=2.

Passo 4

Aplicando Rouché-Capelli:
\mathrm{rank}(A)=2,\quad \mathrm{rank}\bigl[A\mid b\bigr]=2,\quad n=3,
portanto \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}\bigl[A\mid b\bigr]<n. Daí o sistema tem infinitas soluções (grau de liberdade n-r=3-2=1).

Resposta

O sistema possui infinitas soluções.

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