Considere as leis de expoentes
e
.
(a) Mostre que se
é uma matriz quadrada, estas leis são válidas para quaisquer inteiros não negativos
e
.
(b) Mostre que se
é invertível, estas leis valem para quaisquer inteiros negativos
e
.
(a) Mostre que se
(b) Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para provar duas propriedades de potências de uma matriz quadrada
:
-
. -
.
Em (a) devemos tratar o caso em quesão inteiros não negativos, e em (b) estender para inteiros negativos assumindo que é invertível. Usaremos definição de por indução para e, no caso invertível, definiremos .
Passo 2
Definição de potências para
:
Vamos provar por indução em
que para todo
vale
Passo 3
Base da indução
:
Hipótese de indução: suponha que
.
Passo indutivo :
Passo indutivo
Logo, a propriedade vale para todo
.
Passo 4
Agora provamos por indução em
que para todo
vale
Base
:
Hipótese:
Passo indutivo:
Hipótese:
Passo indutivo:
Logo,
para todos
.
Passo 5
Para estender às potências negativas, assumimos
invertível e definimos, para
,
Também mantemos
. Queremos mostrar que as mesmas leis continuam válidas para
inteiros quaisquer.
Passo 6
Se
são inteiros (positivos, nulos ou negativos), escrevemos
com
. Então
usando associatividade e que
comuta com
. Pelas leis já demonstradas em não negativos,
Logo
Passo 7
Para
com
inteiros quaisquer, escrevemos novamente
e
. Então
Usando que para inteiros não negativos
vale
e
, obtemos
Resposta
As duas leis
valem para quaisquer inteiros não negativos
quando
é quadrada, e continuam válidas para quaisquer inteiros
(positivos, nulos ou negativos) desde que
seja invertível.