Considere as leis de expoentes A^{r} A^{s}=A^{r+s} e \left(A^{r}\right)^{s}=A^{r s}.
(a) Mostre que se A é uma matriz quadrada, estas leis são válidas para quaisquer inteiros não negativos r e s.
(b) Mostre que se A é invertível, estas leis valem para quaisquer inteiros negativos r e s.

Passo 1

O enunciado pede para provar duas propriedades de potências de uma matriz quadrada A:
  1. A^{r}A^{s}=A^{r+s}.
  2. \bigl(A^{r}\bigr)^{s}=A^{rs}.
    Em (a) devemos tratar o caso em que r,s são inteiros não negativos, e em (b) estender para inteiros negativos assumindo que A é invertível. Usaremos definição de A^{n} por indução para n\ge0 e, no caso invertível, definiremos A^{-n}=(A^{-1})^{n}.

Passo 2

Definição de potências para n\ge0:
A^0=I,\qquad A^{n+1}=A\cdot A^n.
Vamos provar por indução em r\ge0 que para todo s\ge0 vale
A^rA^s = A^{r+s}.

Passo 3

Base da indução r=0:
A^0A^s = I\cdot A^s = A^s = A^{0+s}.
Hipótese de indução: suponha que A^rA^s = A^{r+s}.
Passo indutivo r\to r+1:
A^{r+1}A^s = (A\cdot A^r)A^s = A\bigl(A^rA^s\bigr) = A\cdot A^{r+s} = A^{(r+s)+1} = A^{(r+1)+s}.
Logo, a propriedade vale para todo r,s\ge0.

Passo 4

Agora provamos por indução em s\ge0 que para todo r\ge0 vale
\bigl(A^r\bigr)^s = A^{rs}.
Base s=0: \bigl(A^r\bigr)^0=I = A^{r\cdot0}.
Hipótese: \bigl(A^r\bigr)^s = A^{rs}.
Passo indutivo:
\bigl(A^r\bigr)^{s+1} =\bigl(A^r\bigr)^s\cdot A^r = A^{rs}\cdot A^r = A^{rs + r} = A^{r(s+1)}.
Logo, \bigl(A^r\bigr)^s = A^{rs} para todos r,s\ge0.

Passo 5

Para estender às potências negativas, assumimos A invertível e definimos, para n>0,
A^{-n} = \bigl(A^{-1}\bigr)^n.
Também mantemos A^0=I. Queremos mostrar que as mesmas leis continuam válidas para r,s inteiros quaisquer.

Passo 6

Se r,s são inteiros (positivos, nulos ou negativos), escrevemos
r = r_1 - r_2,\qquad s = s_1 - s_2
com r_1,r_2,s_1,s_2\ge0. Então
A^r A^s = A^{r_1}A^{-r_2}\,A^{s_1}A^{-s_2} = A^{r_1}A^{s_1}\,A^{-r_2}A^{-s_2}
usando associatividade e que A^{-r_2} comuta com A^{s_1}. Pelas leis já demonstradas em não negativos,
A^{r_1}A^{s_1} = A^{r_1 + s_1}, \qquad A^{-r_2}A^{-s_2} = \bigl(A^{-1}\bigr)^{r_2 + s_2} = A^{-(r_2 + s_2)}.
Logo
A^rA^s = A^{r_1 + s_1}\,A^{-(r_2 + s_2)} = A^{(r_1 + s_1) - (r_2 + s_2)} = A^{r+s}.

Passo 7

Para \bigl(A^r\bigr)^s com r,s inteiros quaisquer, escrevemos novamente r=r_1-r_2 e s=s_1-s_2. Então
\bigl(A^r\bigr)^s = \bigl(A^{r_1-r_2}\bigr)^{s_1-s_2} = \bigl(A^{r_1}A^{-r_2}\bigr)^{s_1}\;\bigl(A^{r_1}A^{-r_2}\bigr)^{-s_2}.
Usando que para inteiros não negativos m vale \bigl(XY\bigr)^m = X^mY^m e \bigl(X^{-1}\bigr)^m = (X^m)^{-1}, obtemos
\bigl(A^r\bigr)^s = A^{r_1s_1}A^{-r_2s_1}\;A^{-r_1s_2}A^{r_2s_2} = A^{r_1s_1 - r_2s_1 - r_1s_2 + r_2s_2} = A^{(r_1-r_2)(s_1-s_2)} = A^{rs}.

Resposta

As duas leis
A^rA^s = A^{r+s}, \qquad \bigl(A^r\bigr)^s = A^{rs}
valem para quaisquer inteiros não negativos r,s quando A é quadrada, e continuam válidas para quaisquer inteiros r,s (positivos, nulos ou negativos) desde que A seja invertível.

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