Prove a parte (c) do Teorema 1.4.1.
[Sugestão. Suponha que A é m \times n, B é n \times p e C é p \times q. A i j-ésima entrada do lado esquerdo é
l_{i j}=a_{i 1}[B C]_{1 j}+a_{i 2}[B C]_{2 j}+\cdots+a_{i n}[B C]_{n j} e a i j-ésima entrada do lado direito é r_{i j}=[A B]_{i 1} c_{1 j}+[A B]_{i 2} c_{2 j}+\cdots+[A B]_{i p} c_{p j}.
Verifique que l_{i j}=r_{i j}. ]

Passo 1

O enunciado da parte (c) do Teorema 1.4.1 afirma a associatividade da multiplicação de matrizes, ou seja, para A\in M_{m\times n}, B\in M_{n\times p} e C\in M_{p\times q} vale
A(BC) = (AB)C.
Para provar isso, vamos comparar a entrada (i,j) de cada lado e mostrar que são iguais.

Passo 2

Defina D = BC. Então D é uma matriz n\times q e a sua entrada (k,j) é
d_{kj} = [BC]_{kj}.
A entrada (i,j) do produto A\,D = A(BC) é
l_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,d_{kj}.

Passo 3

Usando a definição de produto de matrizes, cada d_{kj}=[BC]_{kj} é
d_{kj} = \sum_{\ell=1}^{p} b_{k\ell}\,c_{\ell j}.
Substituindo em l_{ij} obtemos
l_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \Bigl(\sum_{\ell=1}^{p} b_{k\ell}\,c_{\ell j}\Bigr) = \sum_{k=1}^{n}\sum_{\ell=1}^{p} a_{ik}\,b_{k\ell}\,c_{\ell j}.

Passo 4

Agora defina E = AB. Então E é uma matriz m\times p e sua entrada (i,\ell) é
e_{i\ell} = [AB]_{i\ell} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{k\ell}.
A entrada (i,j) do produto E\,C=(AB)C é
r_{ij} = \sum_{\ell=1}^{p} e_{i\ell}\,c_{\ell j}.

Passo 5

Substituindo e_{i\ell} em r_{ij} temos
r_{ij} = \sum_{\ell=1}^{p} \Bigl(\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{k\ell}\Bigr)\,c_{\ell j} = \sum_{\ell=1}^{p}\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{k\ell}\,c_{\ell j}.

Passo 6

Observamos que as somas duplas em l_{ij} e r_{ij} diferem apenas na ordem de somação, mas pelos resultados de álgebra (comutatividade da soma finita) elas coincidem:
l_{ij} = \sum_{k=1}^{n}\sum_{\ell=1}^{p} a_{ik}\,b_{k\ell}\,c_{\ell j} = \sum_{\ell=1}^{p}\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{k\ell}\,c_{\ell j} = r_{ij}.
Como isso vale para todo i e j, concluímos que
A(BC) = (AB)C.

Resposta

Provamos que a entrada (i,j) de A(BC) é igual à entrada (i,j) de (AB)C, logo A(BC)=(AB)C.

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