Prove a parte (c) do Teorema 1.4.1.
[Sugestão. Suponha que
é
é
e
é
. A
-ésima entrada do lado esquerdo é
e a
-ésima entrada do lado direito é
.
Verifique que
. ]
[Sugestão. Suponha que
Verifique que
Passo 1
O enunciado da parte (c) do Teorema 1.4.1 afirma a associatividade da multiplicação de matrizes, ou seja, para
,
e
vale
Para provar isso, vamos comparar a entrada
de cada lado e mostrar que são iguais.
Passo 2
Defina
. Então
é uma matriz
e a sua entrada
é
A entrada
do produto
é
Passo 3
Usando a definição de produto de matrizes, cada
é
Substituindo em
obtemos
Passo 4
Agora defina
. Então
é uma matriz
e sua entrada
é
A entrada
do produto
é
Passo 5
Substituindo
em
temos
Passo 6
Observamos que as somas duplas em
e
diferem apenas na ordem de somação, mas pelos resultados de álgebra (comutatividade da soma finita) elas coincidem:
Como isso vale para todo
e
, concluímos que
Resposta
Provamos que a entrada
de
é igual à entrada
de
, logo
.