Classifique os sistemas lineares a seguir e encontre o conjunto solução.

Passo 1

O enunciado pede para classificar o sistema linear
3x - y + 2z = 3, x + 2y + z = 1, 6x + 5y + 5z = 6,
ou seja, determinar se ele é compatível ou não e, em caso afirmativo, se tem solução única ou infinitas. Em seguida, precisamos encontrar o conjunto–solução. Vamos usar eliminação de Gauss, expressando uma variável em função das outras e analisando a consistência.

Passo 2

Da segunda equação isolamos x:
x + 2y + z = 1 Longrightarrow x = 1 - 2y - z
Substituímos esse x na primeira equação:
3x - y + 2z = 3 Longrightarrow 3(1 - 2y - z) - y + 2z = 3
Isso dá
3 - 6y - 3z - y + 2z = 3 Longrightarrow -7y - z = 0 Longrightarrow z = -7y

Passo 3

Já temos
z = -7y, x = 1 - 2y - z = 1 - 2y - (-7y) = 1 + 5y
Logo, em função do parâmetro y, temos
(x,y,z) = l(1 + 5y,;y,;-7yr)

Passo 4

Falta verificar se a terceira equação impõe alguma contradição:
6x + 5y + 5z = 6 Longrightarrow 6(1+5y) + 5y + 5(-7y) = 6 Longrightarrow 6 + 30y + 5y - 35y = 6 Longrightarrow 6 = 6,
que é sempre verdadeira. Não há contradição, então o sistema é compatível indeterminado, com infinitas soluções.

Resposta

O sistema é compatível indeterminado.
O conjunto–solução é (1+5t,;t,;-7t)mid tin R.

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