Verifique se as matrizes a seguir admitem inversa. Em caso afirmativo, calcule as respectivas inversas.
[lll2 & 1 & 0 0 & 0 & 3 4 & 1 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado pede pra gente verificar se a matriz
2 & 1 & 0 0 & 0 & 3 4 & 1 & 2
tem inversa. Se tiver, a gente também calcula essa inversa. Pra isso, vamos usar o conceito de determinante e a fórmula da matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz. O determinante nos diz se a matriz tem inversa: se for diferente de zero, tá tudo certo!
Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde os elementos da matriz são:
a & b & c d & e & f g & h & i = 2 & 1 & 0 0 & 0 & 3 4 & 1 & 2
Então, substituindo:
det(A) = 2(0*2 - 3*1) - 1(0*2 - 3*4) + 0(0*1 - 0*4) = 2(-3) - 1(-12) + 0 = -6 + 12 + 0 = 6
Como o determinante é 6, que é diferente de zero, a matriz tem inversa.

Passo 3

Agora que sabemos que a inversa existe, vamos calcular ela. A fórmula para a matriz inversa é:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Onde adj(A) é a matriz adjunta, que é a transposta da matriz de cofatores.

Passo 4

Vamos encontrar a matriz de cofatores. Cada elemento dessa matriz é calculado determinando o menor complementar e aplicando um sinal positivo ou negativo dependendo da posição.
Calculando os cofatores:
C11 = det0 & 3 1 & 2 = (0)(2) - (3)(1) = -3 Rightarrow -3
C12 = det0 & 3 4 & 2 = (0)(2) - (3)(4) = -12 Rightarrow 12
C13 = det0 & 0 4 & 1 = (0)(1) - (0)(4) = 0 Rightarrow 0
C21 = det1 & 0 1 & 2 = (1)(2) - (0)(1) = 2 Rightarrow -2
C22 = det2 & 0 4 & 2 = (2)(2) - (0)(4) = 4 Rightarrow 4
C23 = det2 & 1 4 & 1 = (2)(1) - (1)(4) = -2 Rightarrow 2
C31 = det1 & 0 0 & 3 = (1)(3) - (0)(0) = 3 Rightarrow 3
C32 = det2 & 0 0 & 3 = (2)(3) - (0)(0) = 6 Rightarrow -6
C33 = det2 & 1 0 & 0 = (2)(0) - (1)(0) = 0 Rightarrow 0
Então, a matriz de cofatores fica:
-3 & 12 & 0 -2 & 4 & 2 3 & -6 & 0

Passo 5

A próxima etapa é transpor essa matriz de cofatores para obter a adjunta:
adj(A) = -3 & -2 & 3 12 & 4 & -6 0 & 2 & 0

Passo 6

Agora, vamos dividir cada elemento da adjunta pelo determinante para encontrar a inversa:
A^-1 = 16 cdot -3 & -2 & 3 12 & 4 & -6 0 & 2 & 0 = -12 & -13 & 12 2 & 23 & -1 0 & 13 & 0

Resposta

Então, a inversa da matriz é:
A^-1 = -12 & -13 & 12 2 & 23 & -1 0 & 13 & 0

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