Classifique os sistemas a seguir com relação à linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-Estabilidade:
y(t)=4 x(t)

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos o sistema
y(t)=4,x(t)
nos quesitos de linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-estabilidade. Para isso, vamos usar as definições básicas:
  • Um sistema é linear se satisfaz superposição e homogeneidade.
  • É invariante no tempo se atrasar a entrada gera o mesmo atraso na saída.
  • É causal se a saída em t depende só de valores de entrada em instantes <= t.
  • É sem memória (memoryless) se a saída em t depende apenas de x(t).
  • É BIBO-estável se toda entrada limitada produz saída limitada.

Passo 2

Verificamos linearidade.
Para quaisquer sinais x1 e x2 e escalares a,b, a resposta a a,x1(t)+b,x2(t) é
y(t)=4l(a,x1(t)+b,x2(t)r) =a,4,x1(t)+b,4,x2(t),
ou seja, a soma ponderada das saídas. Logo o sistema é linear.

Passo 3

Verificamos invariância no tempo.
Se atrasarmos a entrada em tau, isto é, x'(t)=x(t-tau), a saída fica
y'(t)=4,x'(t)=4,x(t-tau),
que é exatamente y(t-tau). Portanto o sistema é invariante no tempo.

Passo 4

Verificamos causalidade.
A saída em qualquer instante t0 depende só de x(t0) (e não de x(t>t0)). Logo é impossível ver o futuro da entrada. Assim o sistema é causal.

Passo 5

Verificamos memória.
Como y(t) depende apenas de x(t) no mesmo instante, o sistema não “lembra” valores passados ou futuros. Logo é sem memória (memoryless).

Passo 6

Verificamos BIBO-estabilidade.
Se lvert x(t)rvert <= M para todo t, então
lvert y(t)rvert = lvert 4,x(t)rvert <= 4,M,
que também é limitado. Portanto o sistema é BIBO-estável.

Resposta

O sistema y(t)=4,x(t) é:
linear, invariante no tempo, causal, sem memória e BIBO-estável.

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