Uma função é par se
para todo
em seu domínio, e é ímpar se
para todo
em seu domínio. Sendo
derivável, demonstre que
(a) Se fé par, então
é ímpar (ou seja, se
para todo
no domínio de f), então
;
(b) Se f é ímpar, então f’é par.
3.4.1 Respostas e sugestões
- (a)
(b)
(c)
- (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
- (a) (i)
, (ii)
e
.
(b) (i)
, (ii)
.
-
.
- (a)
(b)
(c)
- (a)
(b)
- (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
- (a)
(b)
- (a) Se
é uma função par, temos a igualdade
. Derivando ambos os membros em relação a
, temos
. Por derivação em cadeia, aplicada ao primeiro membro, temos
, logo
, ou seja
. Concluímos então que se
é função par, sua derivada
é função ímpar.
(a) Se fé par, então
(b) Se f é ímpar, então f’é par.
(b)
(c)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b) (i)
(b)
(c)
(b)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas propriedades de simetria da derivada usando a regra da cadeia. Se
é par, isto é,
precisamos provar que
Se
é ímpar, isto é,
precisamos provar que
Em ambas as demonstrações vamos derivar a igualdade dada em relação a
e usar a regra da cadeia.
Passo 2
Demonstração de (a): suponha que
seja par, ou seja,
Derivando ambos os lados em relação a
, obtemos
Pela regra da cadeia,
enquanto
Logo
isto é,
é ímpar.
Passo 3
Demonstração de (b): suponha que
seja ímpar, ou seja,
Derivando ambos os lados em relação a
, temos
De um lado, pela regra da cadeia,
Do outro,
Portanto
isto é,
é par.
Resposta
(a) Se
é par, então
, ou seja,
é ímpar.
(b) Se é ímpar, então
, ou seja,
é par.
(b) Se