Uma função é par se f(-x)=f(x) para todo x em seu domínio, e é ímpar se f(-x)=-f(x) para todo x em seu domínio. Sendo f derivável, demonstre que
(a) Se fé par, então f^prime é ímpar (ou seja, se f(-x)=f(x) para todo x no domínio de f), então f^prime(-x)=-f^prime(x);
(b) Se f é ímpar, então f’é par.

3.4.1 Respostas e sugestões

  1. (a) d yd x=5 x^2(x^33+1)^4+4 x(x^22+1)^3
    (b) d yd x=5((x^3+7)^4+x)^4(12 x^2(x^3+7)^3+1)(x^2+1)-2 x((x^3+7)^4+x)^5(x^2+1)^2
    (c) d yd x=10 x^9(x+1)^11
  2. (a) f^prime(x)=3(x^2-3 x+8)^2(2 x-3)
    (b) f^prime(x)=-(7 x^2+1)(x^2-1)^5
    (c) F^prime(v)=17000(17 v-5)^999
    (d) s^prime(t)=-2(4 t^5-3 t^3+2 t)^-3(20 t^4-9 t^2+2)
    (e) k^prime(u)=(u^2+1)^2(4 u^2-30 u-20)(4 u-5)^6
  3. (a) (i) y-81=864(x-2), (ii) (1,1),(1 / 2,0) e (3 / 2,0).
    (b) (i) y-1=20(x-1), (ii) (1 / 2,0).
  4. k^prime(2)=15.
  5. (a) y^prime=-(6 x^2+2 x y)x^2+3 y^2
    (b) y^prime=-y^3x^3
    (c) y^prime=(4 x^2+3 x-1)(8 x+3)4 y(y^2-9)^3
  6. (a) 4 x-y+16=0
    (b) y+3=-3623(x-2)
  7. (a) f^prime(x)=8 x^2(8 x^3+27)^-2 / 3=8 x^2raiz[3](8 x^3+27)^2
    (b) f^prime(x)=6(7 x+raizx^2+3)^5(7+xraizx^2+3)
    (c) f^prime(t)=-48 traiz[3](9 t^2+16)^5
    (d) g^prime(z)=-3 raiz[3]2 z+32 raiz(3 z+2)^3+23 raiz3 z+2 raiz[3](2 z+3)^2
    (e) F^prime(v)=-5 v^4(v^5-32)^-6 / 5=-5 v^4raiz[5](v^5-32)^6
  8. (a) y^prime=12 raizx y+y6 raizx y-x
    (b) y^prime=18 x^5 / 3 y^2 / 3+y12 x^2 / 3 y^5 / 3-x
  9. (a) Se f é uma função par, temos a igualdade f(-x)=f(x). Derivando ambos os membros em relação a x, temos [f(-x)]^prime=f^prime(x). Por derivação em cadeia, aplicada ao primeiro membro, temos f^prime(-x) cdot(-x)^prime=f^prime(x), logo -f^prime(-x)=f^prime(x), ou seja f^prime(-x)=-f^prime(x). Concluímos então que se f é função par, sua derivada f^prime é função ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas propriedades de simetria da derivada usando a regra da cadeia. Se f é par, isto é,
f(-x)=f(x)forall x,
precisamos provar que
f'(-x)=-f'(x)
Se f é ímpar, isto é,
f(-x)=-f(x)forall x,
precisamos provar que
f'(-x)=f'(x)
Em ambas as demonstrações vamos derivar a igualdade dada em relação a x e usar a regra da cadeia.

Passo 2

Demonstração de (a): suponha que f seja par, ou seja,
f(-x)=f(x)
Derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
ddxl[f(-x)r]=ddxl[f(x)r]
Pela regra da cadeia,
ddxl[f(-x)r] =f'(-x)cdotddx(-x) =f'(-x)cdot(-1) =-f'(-x),
enquanto
ddxl[f(x)r]=f'(x)
Logo
-f'(-x)=f'(x) Longrightarrow f'(-x)=-f'(x),
isto é, f' é ímpar.

Passo 3

Demonstração de (b): suponha que f seja ímpar, ou seja,
f(-x)=-f(x)
Derivando ambos os lados em relação a x, temos
ddxl[f(-x)r] =ddxl[-f(x)r]
De um lado, pela regra da cadeia,
ddxl[f(-x)r] =-f'(-x)
Do outro,
ddxl[-f(x)r] =-,ddxl[f(x)r] =-f'(x)
Portanto
-f'(-x)=-f'(x) Longrightarrow f'(-x)=f'(x),
isto é, f' é par.

Resposta

(a) Se f é par, então f'(-x)=-f'(x), ou seja, f' é ímpar.
(b) Se f é ímpar, então f'(-x)=f'(x), ou seja, f' é par.

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