Classifique os sistemas a seguir com relação à linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-Estabilidade:
y(t)=t x(t)+2

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
y(t)=t,x(t)+2
e pede para classificá-lo quanto a linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-estabilidade. Vamos usar as definições de cada propriedade para analisar.

Passo 2

Verificamos a linearidade: um sistema é linear se satisfaz superposição (adição) e homogeneidade (escala). Considere dois sinais de entrada x1(t) e x2(t) e constantes a,b. A saída para a,x1(t)+b,x2(t) seria
y(t)=tl(a,x1(t)+b,x2(t)r)+2 =a,t,x1(t)+b,t,x2(t)+2
Já a combinação a,y1(t)+b,y2(t) seria
al(t,x1(t)+2r)+bl(t,x2(t)+2r) =a,t,x1(t)+b,t,x2(t)+2(a+b)
Como há o termo constante que não se cancela ( +2neq 2(a+b) em geral), o sistema não é linear.

Passo 3

Verificamos a invariância no tempo: um sistema é invariante se, para toda entrada x(t) e todo deslocamento tau, a saída deslocada satisfaz
ytau(t)=y(t-tau)
Se deslocamos a entrada x(t-tau), a saída torna-se
ytau(t) = t,x(t-tau)+2,
enquanto a saída deslocada seria
y(t-tau) =(t-tau),x(t-tau)+2
Como tneq t-tau, os dois não coincidem, logo o sistema é variante no tempo.

Passo 4

Verificamos a causalidade: um sistema é causal se, para cada t0, a saída y(t0) depende apenas de valores de x(t) com t<= t0. Aqui
y(t0)=t0,x(t0)+2
depende somente de x(t0) e de constantes, sem uso de valores futuros. Portanto o sistema é causal.

Passo 5

Verificamos memória: um sistema é sem memória (memoryless) se y(t) depende apenas de x(t) no mesmo instante. Como
y(t)=t,x(t)+2
usa apenas x(t) e nada de x(tau) com tauneq t, o sistema é sem memória.

Passo 6

Verificamos BIBO-estabilidade: um sistema é BIBO-estável se toda entrada limitada lvert x(t)rvert<= M<infty gera saída limitada. Aqui
lvert y(t)rvert =llvert t,x(t)+2rrvert <= lvert trvert,M+2
Como lvert trvert tende a infinito quando ttopminfty, lvert y(t)rvert pode crescer sem limite. Logo o sistema não é BIBO-estável.

Resposta

Não linear; variante no tempo; causal; sem memória; não BIBO-estável.

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