Determine os coeficientes ck da série de Fourier do sinal x(t) dado por
x(t)=sumk=-infty^+infty p(t-k T), p(t)=u(t+2)+u(t)-2 u(t-1), para T=6

Passo 1

O sinal x(t) é a extensão periódica de período T=6 do “pulso”
p(t)=u(t+2)+u(t)-2,u(t-1),
que vale
p(t)= 0,&t< -2, 1,&-2<= t<0, 2,&0<= t<1, 0,&t>=1
Queremos os coeficientes da série de Fourier
x(t)=sumk=-infty^+inftyck,e^j komega0 t, omega0=2piT=pi3,
onde
ck=1Tintegralum períodop(t),e^-j komega0 t,dt í

Passo 2

Escrevemos a integral sobre um período útil, por exemplo de -3 a +3, mas sabendo que p(t) só é não-zero em [-2,1). Logo
ck=16l[integral-2^01cdot e^-j k(pi/3)t,dt +integral0^12cdot e^-j k(pi/3)t,dtr]

Passo 3

Calculemos cada integral para kneq0. Seja omega0=pi/3.
integral-2^0e^-j komega0 t,dt =1-j komega0l[e^-j komega0 tr]t=-2^0 =3j kpil(e^j2pi k3-1r)
integral0^1e^-j komega0 t,dt =1-j komega0l[e^-j komega0 tr]t=0^1 =3j kpil(1-e^-jpi k3r)

Passo 4

Somando as parcelas com o peso adequado, obtemos para kneq0:
ck =16l[3j kpil(e^j2pi k3-1r) +2cdot3j kpil(1-e^-jpi k3r)r] =12jpi kl(e^j2pi k3+1-2,e^-jpi k3r)

Passo 5

Para k=0 calculamos diretamente a média sobre o período:
c0 =16l[integral-2^01,dt+integral0^12,dtr] =16l[2+2r] =23

Resposta

Para todos os inteiros k:
boxed c0=23, ck=12,jpi,kl(e^j2pi k3+1-2,e^-jpi k3r) (kneq0)

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