Classifique os sistemas a seguir com relação à linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-Estabilidade:
y(t)=x(-t)

Passo 1

O enunciado define um sistema S por
y(t)=S[x](t)=x(-t),
e pede a classificação quanto a linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO\mbox{-}estabilidade. Vamos usar as definições clássicas de sistemas lineares e invariantes, bem como os conceitos de causalidade, memória e estabilidade BIBO para analisar cada propriedade.

Passo 2

Verificação de linearidade: seja x1(t) e x2(t) duas entradas quaisquer e a,b escalares. Considere a entrada combinada
xc(t)=a,x1(t)+b,x2(t)
O sistema produz
S[xc](t)=xc(-t)=a,x1(-t)+b,x2(-t) =a,S[x1](t)+b,S[x2](t)
Logo, S satisfaz superposição e é linear.

Passo 3

Verificação de invariância no tempo: aplique um retardo t0 à entrada, ou seja, x1(t)=x(t-t0). Então
S[x1](t)=x1(-t)=x(-t-t0)
Por outro lado, retardar a saída original dá
y(t-t0)=S[x](t-t0)=xl(-(t-t0)r)=x(-t+t0)
Como em geral x(-t-t0)neq x(-t+t0), o sistema é variante no tempo.

Passo 4

Verificação de causalidade: para ser causal, y(t0) não pode depender de valores de x(t) para t>t0. Aqui
y(t0)=x(-t0)
Se t0<0, então -t0>t0 e o sistema usa um valor futuro de x. Portanto, S é não causal.

Passo 5

Verificação de memória: um sistema é sem memória (memoryless) se y(t0) depende apenas de x(t0). Como y(t0)=x(-t0)neq x(t0) em geral, o sistema tem memória.

Passo 6

Verificação de BIBO\mbox{-}estabilidade: suponha que a entrada seja limitada, isto é, exista M>0 tal que lvert x(t)rvert<= M para todo t. Então
lvert y(t)rvert=lvert x(-t)rvert<= M
para todo t. Logo o sistema é BIBO\mbox{-}estável.

Resposta

linear; variante no tempo; não causal; com memória; BIBO\mbox{-}estável.

Exercícios relacionados