Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L(x, y) da função naquele ponto.
f(x, y)=1+x ackslash (x y-5),
(2,3)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=1 + x,(x y - 5)
e o ponto (2,3). Pede para explicar por que f é diferenciável em (2,3) e, em seguida, encontrar sua linearização L(x,y) ali. Vamos usar o fato de que funções polinomiais têm derivadas parciais contínuas e, portanto, são diferenciáveis em todo ponto.

Passo 2

Vamos verificar a diferenciabilidade de f em geral. Como
f(x,y)=1 + x^2y -5x
é um polinômio em x e y, suas derivadas parciais existem e são contínuas em toda R^2. Logo, f é diferenciável em (2,3).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y) =partialpartial xl(1 + x^2y -5xr) =2xy -5,
partial fpartial y(x,y) =partialpartial yl(1 + x^2y -5xr) =x^2

Passo 4

Avaliamo-las em (2,3) e também o valor de f nesse ponto:
partial fpartial x(2,3)=2cdot2cdot3-5=12-5=7,
partial fpartial y(2,3)=2^2=4,
f(2,3)=1 + 2^2cdot3 -5cdot2 =1+12-10=3

Passo 5

A linearização de f em (2,3) é dada por
L(x,y) =f(2,3) +partial fpartial x(2,3),(x-2) +partial fpartial y(2,3),(y-3)
Substituindo os valores,
L(x,y) =3 +7,(x-2)+4,(y-3)

Resposta

L(x,y)=3 +7(x-2)+4(y-3)

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