Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização
da função naquele ponto.
,
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. Pede para explicar por que
é diferenciável em
e, em seguida, encontrar sua linearização
ali. Vamos usar o fato de que funções polinomiais têm derivadas parciais contínuas e, portanto, são diferenciáveis em todo ponto.
Passo 2
Vamos verificar a diferenciabilidade de
em geral. Como
é um polinômio em
e
, suas derivadas parciais existem e são contínuas em toda
. Logo,
é diferenciável em
.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 4
Avaliamo-las em
e também o valor de
nesse ponto:
Passo 5
A linearização de
em
é dada por
Substituindo os valores,