Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização
da função naquele ponto.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para explicar por que ela é diferenciável em
e, em seguida, encontrar sua linearização
nesse ponto. O conteúdo é diferencial de funções de várias variáveis e a fórmula da linearização
Passo 2
Como
é produto de funções elementares (a função exponencial e o produto
), todas de classe
em
, segue que
é de classe
em toda parte. Logo,
é diferenciável em especial no ponto
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais gerais:
Passo 4
Avaliando em
:
Passo 5
Substituindo na fórmula da linearização em
:
Resposta
A função é diferenciável em
porque é de classe
, e sua linearização nesse ponto é