Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L(x, y) da função naquele ponto.
f(x, y)=e^-x y y, (pi, 0)

Passo 1

O enunciado dá a função fcolonR^2toR definida por
f(x,y)=y,e^-x y
e pede para explicar por que ela é diferenciável em (pi,0) e, em seguida, encontrar sua linearização L(x,y) nesse ponto. O conteúdo é diferencial de funções de várias variáveis e a fórmula da linearização
L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b),(x-a)+fy(a,b),(y-b)

Passo 2

Como f é produto de funções elementares (a função exponencial e o produto x,y), todas de classe C^infty em R^2, segue que f é de classe C^1 em toda parte. Logo, f é diferenciável em especial no ponto (a,b)=(pi,0).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais gerais:
partial fpartial x(x,y) =partialpartial xl(y,e^-xyr) =ycdot(-y)e^-xy =-y^2,e^-xy,
partial fpartial y(x,y) =partialpartial yl(y,e^-xyr) =e^-xy+ycdot(-x)e^-xy =e^-xy-x,y,e^-xy

Passo 4

Avaliando em (pi,0):
f(pi,0)=0cdot e^-picdot0=0, fx(pi,0)=-0^2,e^-picdot0=0, fy(pi,0)=e^0-picdot0cdot e^0=1

Passo 5

Substituindo na fórmula da linearização em (a,b)=(pi,0):
L(x,y) =f(pi,0)+fx(pi,0),(x-pi)+fy(pi,0),(y-0) =0+0,(x-pi)+1,(y) =y

Resposta

A função é diferenciável em (pi,0) porque é de classe C^1, e sua linearização nesse ponto é
L(x,y)=y

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