Classifique os sistemas a seguir com relação à linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-Estabilidade:
y(t)=x(-t) u(t)

Passo 1

O sistema é dado por
y(t)=x(-t),u(t),
onde u(t) é o degrau unitário de Heaviside. Precisamos classificar em relação a:
– linearidade;
– invariância no tempo;
– causalidade;
– memória;
– BIBO-estabilidade.

Passo 2

Linearidade
Definição: um sistema é linear se, para quaisquer sinais x1(t),x2(t) e escalares a,b, a resposta ao sinal combinado a,x1(t)+b,x2(t) for
a,y1(t)+b,y2(t),
sendo yi(t) a saída para xi(t).
Aqui, para x(t)=a,x1(t)+b,x2(t) temos
y(t) =l[a,x1(-t)+b,x2(-t)r],u(t) =a,x1(-t),u(t)+b,x2(-t),u(t) =a,y1(t)+b,y2(t)
Logo, é linear.

Passo 3

Invariância no tempo
Definição: o sistema é invariante no tempo se, ao atrasar o sinal de entrada em t0, a saída atrasa também em t0.
Se definirmos x'(t)=x(t-t0), a nova saída é
y'(t) =x'(-t),u(t) =x(-t-t0),u(t)
Por outro lado, atrasar a saída original dá
y(t-t0) =xl(-(t-t0)r),u(t-t0) =x(-t+t0),u(t-t0)
Como
x(-t-t0),u(t)neq x(-t+t0),u(t-t0)
em geral, o sistema é variante no tempo.

Passo 4

Causalidade
Definição: é causal se y(t) depende apenas de x(tau) com tau<= t.
– Para t<0, u(t)=0 e então y(t)=0, ou seja, independe de x.
– Para t>=0, -t<=0<= t, logo y(t) depende de x(-t) com -t<= t.
Não há dependência de valores futuros de x, logo é causal.

Passo 5

Memória
Definição: é sem memória (memoryless) se y(t) depende somente de x(t).
Aqui y(t) depende de x(-t) para t>=0, isto é, de amostras em instantes diferentes de t.
Portanto o sistema tem memória.

Passo 6

BIBO-estabilidade
Definição: o sistema é BIBO-estável se um sinal de entrada limitado ( lvert x(t)rvert <= M) gera saída também limitada ( lvert y(t)rvert <= M').
Se lvert x(t)rvert <= M para todo t, então
lvert y(t)rvert = lvert x(-t)rvert , lvert u(t)rvert <= M cdot 1 = M
Logo a saída fica limitada e o sistema é BIBO-estável.

Resposta

Linear, variante no tempo, causal, com memória e BIBO-estável.

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