Classifique os sistemas a seguir com relação à linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-Estabilidade:
Passo 1
O sistema é dado por
onde
é o degrau unitário de Heaviside. Precisamos classificar em relação a:
– linearidade;
– invariância no tempo;
– causalidade;
– memória;
– BIBO-estabilidade.
– linearidade;
– invariância no tempo;
– causalidade;
– memória;
– BIBO-estabilidade.
Passo 2
Linearidade
Definição: um sistema é linear se, para quaisquer sinais e escalares
, a resposta ao sinal combinado
for
Definição: um sistema é linear se, para quaisquer sinais
sendo
a saída para
.
Aqui, para temos
Aqui, para
Logo, é linear.
Passo 3
Invariância no tempo
Definição: o sistema é invariante no tempo se, ao atrasar o sinal de entrada em , a saída atrasa também em
.
Se definirmos , a nova saída é
Definição: o sistema é invariante no tempo se, ao atrasar o sinal de entrada em
Se definirmos
Por outro lado, atrasar a saída original dá
Como
em geral, o sistema é variante no tempo.
Passo 4
Causalidade
Definição: é causal se depende apenas de
com
.
– Para ,
e então
, ou seja, independe de
.
– Para ,
, logo
depende de
com
.
Não há dependência de valores futuros de , logo é causal.
Definição: é causal se
– Para
– Para
Não há dependência de valores futuros de
Passo 5
Memória
Definição: é sem memória (memoryless) se depende somente de
.
Aqui depende de
para
, isto é, de amostras em instantes diferentes de
.
Portanto o sistema tem memória.
Definição: é sem memória (memoryless) se
Aqui
Portanto o sistema tem memória.
Passo 6
BIBO-estabilidade
Definição: o sistema é BIBO-estável se um sinal de entrada limitado ( ) gera saída também limitada (
).
Se para todo
, então
Definição: o sistema é BIBO-estável se um sinal de entrada limitado (
Se
Logo a saída fica limitada e o sistema é BIBO-estável.
Resposta
Linear, variante no tempo, causal, com memória e BIBO-estável.