Defina diferenciabilidade em R^2

Passo 1

O enunciado pede a definição de diferenciabilidade de uma função fcolonR^2toR num ponto. Para isso vamos usar o conceito de aproximação linear por meio de um mapa linear e exigir que o erro seja “pequeno” em comparação com a norma do incremento.

Passo 2

Seja UsubsetR^2 um aberto e fcolon UtoR. Tome um ponto a=(x0,y0)in U e um vetor de incremento h=(h1,h2). Dizemos que f é diferenciável em a se existir um mapa linear
LcolonR^2toR
tal que
limhto(0,0)f(a+h)-f(a)-L(h)lVert hrVert=0

Passo 3

Esse mapa linear L é único e chama-se diferencial de f em a, denotado df(a). Na prática, quando as derivadas parciais existem em a e são contínuas num entorno, temos
df(a)(h) =partial fpartial x(a),h1+partial fpartial y(a),h2,
e isso garante a condição de erro negligenciável acima.

Resposta

A função fcolon UsubsetR^2toR é diferenciável em ain U se existe um mapa linear LcolonR^2toR (o diferencial df(a)) tal que
limhto(0,0)f(a+h)-f(a)-L(h)lVert hrVert=0

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