Classifique os sistemas a seguir com relação à linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-Estabilidade:
y(t)=integral-infty^t+1 x(beta-1) d beta

Passo 1

O sistema é dado por
y(t)=integral-infty^t+1x(beta-1),dbeta
Para analisar linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-estabilidade, vamos primeiro simplificar a expressão mudando a variável de integração.

Passo 2

Fazendo a troca alpha=beta-1, temos beta=alpha+1 e dbeta=dalpha. Os limites ficam beta=-inftyimpliesalpha=-infty e beta=t+1impliesalpha=t. Logo
y(t)=integral-infty^tx(alpha),dalpha
Essa forma é mais fácil de usar nas propriedades.

Passo 3

Linearidade: a operação
xmapstointegral-infty^tx(alpha),dalpha
é claramente linear, pois integração é linear. Se x1,x2 produzem y1,y2, então para quaisquer constantes a,b
a,y1(t)+b,y2(t) =integral-infty^tl(a,x1(alpha)+b,x2(alpha)r),dalpha,
que é o mesmo que a resposta ao sinal a,x1+b,x2. Portanto o sistema é linear.

Passo 4

Invariância no tempo: seja x2(t)=x1(t-t0). A saída correspondente é
y2(t) =integral-infty^tx1(alpha-t0),dalpha
Fazendo gamma=alpha-t0
y2(t) =integral-infty^t-t0x1(gamma),dgamma =y1(t-t0)
Como deslocar a entrada desloca a saída na mesma quantidade, o sistema é invariável no tempo.

Passo 5

Causalidade: o valor y(t) depende apenas de x(alpha) para alpha<= t. Não há uso de valores futuros de x. Logo o sistema é causal.

Passo 6

Memória: y(t) envolve a integral de x desde -infty até t, ou seja, depende de valores passados de x. Portanto o sistema tem memória (não é memoryless).

Passo 7

BIBO-estabilidade: se lvert x(t)rvert<= M<infty, então
lvert y(t)rvert <=integral-infty^tlvert x(alpha)rvert,dalpha <=integral-infty^tM,dalpha =Mcdot(t-(-infty))=infty
Para um sinal limitado a amplitude M, a saída pode divergir. Logo o sistema não é BIBO-estável.

Resposta

O sistema é
linear, invariante no tempo, causal, com memória e não BIBO-estável.

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