Use o método de Eliminação de Gauss com Pivotamento Parcial no sistema abaixo:
l 2 x1+3 x2+4 x3=-2 3 x1+2 x2-x3=4 5 x1-4 x2+3 x3=8

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
2x1+3x2+4x3=-2, 3x1+2x2-x3=4, 5x1-4x2+3x3=8
usando o método de Eliminação de Gauss com Pivotamento Parcial. Isso significa que, em cada coluna, vamos trocar a linha atual com aquela que tem o maior valor absoluto na coluna (para reduzir erros numéricos) e depois eliminar os coeficientes abaixo do pivô.

Passo 2

Montei a matriz aumentada e trato a primeira coluna.
[ccc|c 2 & 3 & 4 & -2 3 & 2 & -1 & 4 5 & -4 & 3 & 8 ]
Na primeira coluna, o maior valor absoluto é lvert5rvert (linha 3), então troco a linha 1 com a linha 3:
[ccc|c 5 & -4 & 3 & 8 3 & 2 & -1 & 4 2 & 3 & 4 & -2 ]
Agora elimino os termos abaixo do pivô 5:
  • Para a linha 2: multiplico a linha 1 por 3/5 e subtraio de L2.
  • Para a linha 3: multiplico a linha 1 por 2/5 e subtraio de L3.
    O resultado é
[ccc|c 5 & -4 & 3 & 8 0 & tfrac225 & -tfrac145 & -tfrac45 0 & tfrac235 & tfrac145 & -tfrac265 ]

Passo 3

Agora trato a segunda coluna (das linhas 2 e 3). Os valores absolutos são tfrac225approx4,4 e tfrac235approx4,6, logo o pivô é tfrac235 (linha 3). Troco L2 com L3:
[ccc|c 5 & -4 & 3 & 8 0 & tfrac235 & tfrac145 & -tfrac265 0 & tfrac225 & -tfrac145 & -tfrac45 ]
Elimino o termo abaixo do pivô tfrac235: multiplico a linha 2 por tfrac22/523/5=tfrac2223 e subtraio de L3. Isso leva a
[ccc|c 5 & -4 & 3 & 8 0 & tfrac235 & tfrac145 & -tfrac265 0 & 0 & -tfrac12623 & tfrac9623 ]
Agora temos o sistema triangular superior.

Passo 4

Faço substituição regressiva:
Da terceira linha,
-tfrac12623,x3=tfrac9623 Longrightarrow x3=-tfrac96126=-tfrac1621
Da segunda linha, multiplico tudo por 5 para simplificar:
23,x2+14,x3=-26 Longrightarrow 23,x2+14l(-tfrac1621r)=-26 Longrightarrow 23,x2-tfrac22421=-26
Longrightarrow 23,x2=-26+tfrac22421 =-tfrac54621+tfrac22421=-tfrac32221 Longrightarrow x2=-tfrac322(21cdot23)=-tfrac1421=-tfrac23
Da primeira linha:
5,x1-4,x2+3,x3=8 Longrightarrow 5,x1-4l(-tfrac23r)+3l(-tfrac1621r)=8
Isso dá
5,x1+tfrac83-tfrac4821=8 Longrightarrow 5,x1+tfrac821=8 Longrightarrow 5,x1=tfrac168-821=tfrac16021 Longrightarrow x1=tfrac3221

Resposta

x1=tfrac3221, x2=-tfrac23, x3=-tfrac1621

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