Classifique os sistemas a seguir com relação à linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-Estabilidade:
y(t)=x(t^2)

Passo 1

O enunciado define o sistema
y(t)=xl(t^2r)
e pede para classificá-lo quanto à linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-estabilidade. Vamos aplicar as definições de cada propriedade a esse mapeamento de sinais.

Passo 2

Linearidade
Um sistema é linear se satisfaz superposição e homogeneidade. Se x1(t)mapsto y1(t)=x1(t^2) e x2(t)mapsto y2(t)=x2(t^2), então, para quaisquer escalares a e b, a entrada
x(t)=a,x1(t)+b,x2(t)
produz a saída
y(t)=xl(t^2r)=a,x1(t^2)+b,x2(t^2)=a,y1(t)+b,y2(t)
Logo, o sistema é linear.

Passo 3

Invariância no tempo
Um sistema é invariante no tempo se deslocar a entrada em t0 desloca a saída em t0. Se a entrada for x1(t)=x(t-t0), a saída é
y1(t)=x1l(t^2r)=xl(t^2-t0r)
Já deslocar a saída original dá
y(t-t0)=xl((t-t0)^2r)
Como em geral t^2-t0neq (t-t0)^2, o sistema não é invariante no tempo.

Passo 4

Causalidade
Um sistema é causal se, para cada t0, y(t0) depende só de valores de x(tau) com tau<= t0. Aqui
y(t0)=xl(t0^2r)
Se t0>1, então t0^2>t0, ou seja, o sistema usa valores futuros de x. Logo, não é causal.

Passo 5

Memória
Um sistema é sem memória (memoryless) se y(t) depende só de x(t). Como y(t)=x(t^2) envolve x em tempo diferente de t (exceto nos pontos fixos t=0,1), o sistema tem memória.

Passo 6

BIBO-estabilidade
Para qualquer entrada limitada, isto é, se existe M tal que lvert x(t)rvert <= M para todo t, então
lvert y(t)rvert = llvert x(t^2)rrvert <= M
Como a saída também fica limitada por M, o sistema é BIBO-estável.

Resposta

Linear
Não invariante no tempo
Não causal
Tem memória
BIBO-estável

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