Classifique os sistemas a seguir com relação à linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-Estabilidade:
y(t)=integral-5^t beta x(beta) d beta

Passo 1

O sistema é dado por
y(t)=integral-5^tbeta,x(beta),dbeta
Precisamos classificar:
– linearidade (superposição);
– invariância no tempo (shift in, shift out);
– causalidade (dependência só de valores passados/atuais de x);
– memória (depende de instantes diferentes de t);
– BIBO-estabilidade (entrada limitada to saída limitada).

Passo 2

Verificamos a linearidade definindo o operador
Tx(t)=integral-5^tbeta,x(beta),dbeta
Seja x=x1 a + x2 b com escalares a,b. Então
Ta,x1 + b,x2(t) =integral-5^tbetal(a,x1(beta)+b,x2(beta)r),dbeta =a!integral-5^tbeta,x1(beta),dbeta +b!integral-5^tbeta,x2(beta),dbeta =a,Tx1(t)+b,Tx2(t)
Logo o sistema é linear.

Passo 3

Testamos invariância no tempo. Seja x!d(t)=x(t-t0). Então
Tx!d(t) =integral-5^tbeta,x(beta - t0),dbeta,
enquanto
y(t-t0)=Tx(t-t0) =integral-5^,t-t0beta,x(beta),dbeta
Como em geral
integral-5^tbeta,x(beta - t0),dbetaneqintegral-5^,t-t0beta,x(beta),dbeta,
o sistema é variante no tempo.

Passo 4

Para cada t, essa integral envolve somente valores de x(beta) com beta<= t (o limite superior é t), de modo que não há dependência de valores futuros. Portanto o sistema é causal.

Passo 5

Como y(t) depende de x(beta) para todo beta no intervalo [-5,t] (isto é, de instantes anteriores a t), o sistema possui memória.

Passo 6

Verifiquemos BIBO-estabilidade. Suponha lvert x(t)rvert<= M. Então
lvert y(t)rvert =llvertintegral-5^tbeta,x(beta),dbetarrvert <=integral-5^tlvertbetarvert,lvert x(beta)rvert,dbeta <= Mintegral-5^tlvertbetarvert,dbeta
Como integral-5^tlvertbetarvert,dbeta cresce sem limite quando ttoinfty, um M finito não basta para manter lvert y(t)rvert limitado para todo t. Logo não é BIBO-estável.

Resposta

O sistema é linear;
é variante no tempo;
é causal;
possui memória;
e não é BIBO-estável.

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