Classifique os sistemas a seguir com relação à linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-Estabilidade:
Passo 1
O sistema é dado por
Precisamos classificar:
– linearidade (superposição);
– invariância no tempo (shift in, shift out);
– causalidade (dependência só de valores passados/atuais de );
– memória (depende de instantes diferentes de );
– BIBO-estabilidade (entrada limitada saída limitada).
Passo 2
Verificamos a linearidade definindo o operador
Seja com escalares . Então
Logo o sistema é linear.
Passo 3
Testamos invariância no tempo. Seja . Então
enquanto
Como em geral
o sistema é variante no tempo.
Passo 4
Para cada , essa integral envolve somente valores de com (o limite superior é ), de modo que não há dependência de valores futuros. Portanto o sistema é causal.
Passo 5
Como depende de para todo no intervalo (isto é, de instantes anteriores a ), o sistema possui memória.
Passo 6
Verifiquemos BIBO-estabilidade. Suponha . Então
Como integral-5^tlvertbetarvert,dbeta cresce sem limite quando ttoinfty, um M finito não basta para manter lvert y(t)rvert limitado para todo t. Logo não é BIBO-estável.
Resposta
O sistema é linear;
é variante no tempo;
é causal;
possui memória;
e não é BIBO-estável.