Determine as derivadas parciais indicadas.
partial wpartial s, partial wpartial t quando w=e^x y tan y, x=s+2 t, y=s / t;

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de derivadas parciais! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de w em relação a s e t . A função dada é w = e^xy tan y , onde x = s + 2t e y = st . Para isso, vamos usar a regra da cadeia da derivada parcial, que é super útil quando temos funções compostas como essas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada parcial de w em relação a s , ou seja, partial wpartial s .
Sabemos que w depende de x e y , e ambos x e y dependem de s . Então, pela regra da cadeia:
partial wpartial s = partial wpartial x cdot partial xpartial s + partial wpartial y cdot partial ypartial s
Vamos calcular cada parte:
  1. Calculando partial wpartial x :
partial wpartial x = e^xy tan y cdot y
Porque ao derivar e^xy em relação a x , trazemos o y da potência.
  1. Calculando partial xpartial s :
partial xpartial s = 1
Já que x = s + 2t , derivando em relação a s , o termo 2t vira zero.
  1. Calculando partial wpartial y :
partial wpartial y = e^xy cdot x tan y + e^xy sec^2 y
Primeiro, derivamos e^xy em relação a y , que dá e^xy cdot x , multiplicado por tan y . Depois, derivamos tan y que dá sec^2 y , tudo mais fica igual.
  1. Calculando partial ypartial s :
partial ypartial s = 1t
Como y = st , derivando em relação a s , o t é constante na derivada.
Agora, juntando tudo:
partial wpartial s = e^xy tan y cdot y cdot 1 + ( e^xy x tan y + e^xy sec^2 y ) cdot 1t

Passo 3

Agora, vamos achar a derivada parcial de w em relação a t , ou seja, partial wpartial t .
Novamente, usando a regra da cadeia:
partial wpartial t = partial wpartial x cdot partial xpartial t + partial wpartial y cdot partial ypartial t
Vamos calcular cada parte:
  1. Calculando partial wpartial x :
    Já vimos que:
partial wpartial x = e^xy tan y cdot y
  1. Calculando partial xpartial t :
partial xpartial t = 2
Já que x = s + 2t , derivando em relação a t , o s é constante e derivado de 2t dá 2.
  1. Calculando partial wpartial y :
    Já calculamos:
partial wpartial y = e^xy x tan y + e^xy sec^2 y
  1. Calculando partial ypartial t :
partial ypartial t = -st^2
Derivando y = st em relação a t , usamos a regra do quociente.
Agora, juntando tudo:
partial wpartial t = e^xy tan y cdot y cdot 2 + ( e^xy x tan y + e^xy sec^2 y ) cdot ( -st^2 )

Resposta

As derivadas parciais são:
partial wpartial s = e^xy y tan y + e^xy x tan y + e^xy sec^2 yt
partial wpartial t = 2 e^xy y tan y - e^xy x tan y + e^xy sec^2 yt^2 cdot s

Exercícios relacionados