Determine as derivadas parciais indicadas.
quando
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de derivadas parciais! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. A função dada é
, onde
e
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia da derivada parcial, que é super útil quando temos funções compostas como essas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Sabemos que
depende de
e
, e ambos
e
dependem de
. Então, pela regra da cadeia:
Vamos calcular cada parte:
- Calculando
:
Porque ao derivar
em relação a
, trazemos o
da potência.
- Calculando
:
Já que
, derivando em relação a
, o termo
vira zero.
- Calculando
:
Primeiro, derivamos
em relação a
, que dá
, multiplicado por
. Depois, derivamos
que dá
, tudo mais fica igual.
- Calculando
:
Como
, derivando em relação a
, o
é constante na derivada.
Agora, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos achar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, usando a regra da cadeia:
Vamos calcular cada parte:
- Calculando
:
Já vimos que:
- Calculando
:
Já que
, derivando em relação a
, o
é constante e derivado de
dá 2.
- Calculando
:
Já calculamos:
- Calculando
:
Derivando
em relação a
, usamos a regra do quociente.
Agora, juntando tudo:
Resposta
As derivadas parciais são: