Classifique os sistemas a seguir com relação à linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-Estabilidade:
y(t)=cos (t x(t))

Passo 1

O enunciado pede para classificar o sistema
y(t)=cosl(t,x(t)r)
em relação a (i) linearidade, (ii) invariância no tempo, (iii) causalidade, (iv) memória e (v) BIBO-estabilidade. Vamos usar as definições básicas: linearidade exige superposição e homogeneidade; invariância examina o efeito de deslocar no tempo; causalidade requer depender apenas do passado e presente; memória verifica se há dependência de valores além do instante t; e BIBO-estabilidade exige que toda entrada limitada gere saída limitada.

Passo 2

Para testar linearidade, considere duas entradas x1(t) e x2(t) e constantes a,b. A superposição pediria
ysuper(t) =cos!l(t,(a,x1(t)+b,x2(t))r) stackrel?= a,cos!l(t,x1(t)r) +b,cos!l(t,x2(t)r)
Em geral não vale
cosl(t(a,x1+b,x2)r)=acos(t,x1)+bcos(t,x2).
Logo o sistema é não-linear.

Passo 3

Para verificar invariância no tempo, defina xtau(t)=x(t-tau). A saída correspondente é
ytau(t) =cosl(t,x(t-tau)r)
Já deslocando a saída original teríamos
y(t-tau) =cosl((t-tau),x(t-tau)r)
Como ytau(t)neq y(t-tau) (aparecem fatores t versus t-tau), o sistema é variante no tempo.

Passo 4

Note que, em cada instante t, y(t)=cos(t,x(t)) depende apenas de x(t), sem recorrer a valores futuros x(t+T) nem a valores passados x(t-T) com T>0. Portanto o sistema é causal e, por usar apenas o valor de x no mesmo instante, é sem memória (memoryless).

Passo 5

Para BIBO-estabilidade, suponha que lvert x(t)rvert<= M<infty para todo t. Mesmo que lvert t,x(t)rvert varie, a função cos(cdot) sempre produz valores em [-1,1]. Logo toda entrada limitada gera saída limitada, e o sistema é BIBO-estável.

Resposta

Não-linear, variante no tempo, causal, sem memória, BIBO-estável.

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