Considere o sistema linear:
ccccc 5 x1+2 x2+x3 & = & -12 -x1+4 x2+2 x3 & = & 20 2 x1-3 x2+102 x3 & = & 3
a) Resolva-o usando a decomposição L U.
b) Calcule o determinante de A usando a decomposição.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear A x = b, com
A = 5 & 2 & 1 -1 & 4 & 2 2 & -3 & 102 , b=-12203,
e pede (a) resolver por decomposição L U (método de Doolittle) e (b) calcular det(A) a partir dessa decomposição.

Passo 2

Começamos escolhendo
U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 , L = 1 & 0 & 0 ell21 & 1 & 0 ell31 & ell32 & 1
Pelo método de Doolittle, u11=a11=5,
;u12=a12=2,
;u13=a13=1,
;ell21=tfraca21u11=-tfrac15,
;ell31=tfraca31u11=tfrac25.

Passo 3

Atualizamos a
de onde (\ell_{32}=\tfrac{-19/5}{22/5}=-\tfrac{19}{22}]. Em seguida
]

Passo 4

Reunindo, temos
L= 1 & 0 & 0[4pt] -tfrac15 & 1 & 0[4pt] tfrac25 & -tfrac1922 & 1 , U= 5 & 2 & 1[4pt] 0 & tfrac225 & tfrac115[4pt] 0 & 0 & tfrac2072 ]

Passo 5

Resolvemos Ly=b por substituição direta:
y1=-12, y2=20-ell21y1=20-l(-tfrac15r)(-12)=885, y3=3-ell31y1-ell32y2=23

Passo 6

Agora U x=y por retro-substituição:
x3=y3u33=23207/2=29, x2=1u22l(y2-u23x3r)=359, x1=15l(-12-2x2-x3r)=-4

Passo 7

Para (b), como det(L)=1, temos
det(A)=det(L),det(U) =u11,u22,u33 =5cdot225cdot2072 =2277

Resposta

x1=-4, x2=tfrac359, x3=tfrac29, det(A)=2277

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