Classifique os sistemas a seguir com relação à linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-Estabilidade:
y(t)=(t+2) x(t)

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema
y(t) = (t+2),x(t)
e pede para classificá-lo quanto à linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-estabilidade. Para isso precisamos lembrar as definições:
  • Um sistema é linear se satisfaz superposição (adição e homogeneidade).
  • É invariante no tempo se um atraso na entrada causa o mesmo atraso na saída.
  • É causal se y(t) depende apenas de valores de x(tau) para tau<= t.
  • É sem memória (memoryless) se y(t) depende apenas de x(t).
  • É BIBO-estável se toda entrada limitada gera saída limitada.

Passo 2

Verificamos a linearidade aplicando superposição. Para duas entradas x1 e x2 e escalares a,b:
yab(t) = (t+2)l[a,x1(t) + b,x2(t)r] = a,(t+2)x1(t) + b,(t+2)x2(t) = a,y1(t) + b,y2(t)
Logo o sistema é linear.

Passo 3

Testamos invariância no tempo. Se atrasarmos a entrada em t0, temos
yentrada atrasada(t) = (t+2),x(t - t0)
Por outro lado, atrasar a saída original seria
y(t - t0) = l((t - t0) + 2r),x(t - t0)
Como (t+2)neq(t - t0 +2), não há coincidência. O sistema é variante no tempo.

Passo 4

Para ver a causalidade, note que em cada instante t a saída usa apenas x(t). Não há dependência de x(tau) com tau>t. Portanto o sistema é causal.

Passo 5

Um sistema sem memória é aquele em que y(t) depende somente de x(t). Aqui
y(t) = (t+2),x(t)
não envolve valores passados ou futuros de x, só o valor presente. Logo é sem memória (memoryless).

Passo 6

Verificamos BIBO-estabilidade. Se lvert x(t)rvert<= M para todo t, então
lvert y(t)rvert = lvert t+2rvert,lvert x(t)rvert <= M,lvert t+2rvert
Como lvert t+2rvert cresce sem limite quando lvert trverttoinfty, y(t) pode ficar arbitrariamente grande mesmo que x seja limitado. Assim o sistema não é BIBO-estável.

Resposta

Linear: sim
Invariante no tempo: não
Causal: sim
Memória: não (memoryless)
BIBO-estável: não

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