Classifique os sistemas a seguir com relação à linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-Estabilidade:
y(t)=x(t) cos (t)

Passo 1

O enunciado dá o sistema
y(t)=x(t)cos(t)
e pede para classificá-lo em relação a linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-estabilidade. Para isso, vamos usar as definições padrões:
  • Linearidade: ver se satisfaz superposição e homogeneidade.
  • Invariância no tempo: ver se um deslocamento na entrada gera o mesmo deslocamento na saída.
  • Causalidade: saída em t depende apenas de entradas em instantes <= t.
  • Memória: se depende só de x(t) (memoryless) ou de x(tau) com tauneq t.
  • BIBO-estabilidade: entrada limitada produz saída limitada.

Passo 2

Verificamos linearidade. Seja uma entrada composta
xs(t)=a,x1(t)+b,x2(t)
Então a saída é
ys(t)=xs(t)cos(t)=[a,x1(t)+b,x2(t)]cos(t) =a,[x1(t)cos(t)]+b,[x2(t)cos(t)] =a,y1(t)+b,y2(t)
Logo satisfaz superposição e homogeneidade, ou seja, é linear.

Passo 3

Testamos invariância no tempo. Deslocamos a entrada: xd(t)=x(t-t0). A saída resultante é
yd(t)=x(t-t0)cos(t)
Já a saída original deslocada seria
y(t-t0)=x(t-t0)cos(t-t0)
Como cos(t)neqcos(t-t0) em geral, não temos yd(t)=y(t-t0). Portanto o sistema é variante no tempo.

Passo 4

Causalidade e memória:
  • Causalidade: em cada instante t, y(t) depende apenas de x(t) (e de cos(t), que é conhecido). Não depende de valores futuros de x. Logo é causal.
  • Memória: depende somente de x(t) no mesmo instante, não de x(tau) com tauneq t. Logo é memoryless (sem memória).

Passo 5

BIBO-estabilidade. Se lvert x(t)rvert<= M<infty para todo t, então
lvert y(t)rvert =lvert x(t)rvert;|cos(t)| <= Mcdot1 =M
Assim a saída fica limitada e o sistema é BIBO-estável.

Resposta

Linear; variante no tempo; causal; sem memória (memoryless); BIBO-estável.

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