Classifique os sistemas a seguir com relação à linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-Estabilidade:
y(t)=integralt-4^t+2 x(beta-1) d beta

Passo 1

O sistema é dado por
y(t)=integralt-4^t+2x(beta-1),dbeta
Precisamos classificar quanto a:
– linearidade (superposição e homogeneidade),
– invariância no tempo (efeito de deslocar o sinal de entrada),
– causalidade (uso de valores futuros de x),
– memória (dependência além de x(t)),
– BIBO-estabilidade (entrada limitada gera saída limitada).

Passo 2

Para ver a linearidade, considere duas entradas x1 e x2 com saídas y1 e y2. Se a entrada for
alpha,x1(t)+beta,x2(t), então
y(t) =integralt-4^t+2[alpha,x1(beta-1)+beta,x2(beta-1)],dbeta =alphaintegralt-4^t+2x1(beta-1),dbeta +betaintegralt-4^t+2x2(beta-1),dbeta =alpha,y1(t)+beta,y2(t)
Logo, o sistema é linear.

Passo 3

Para invariância no tempo, defina xtau(t)=x(t-tau) e chame a saída associada de ytau(t). Então
ytau(t) =integralt-4^t+2xtau(beta-1),dbeta =integralt-4^t+2x(beta-1-tau),dbeta
Fazendo mudança de variável u=beta-tau, os limites vão de t-tau-4 a t-tau+2, e
ytau(t) =integralt-tau-4^,t-tau+2x(u-1),du =y(t-tau)
Portanto, é invariante no tempo.

Passo 4

O sistema, para calcular y(t), usa valores de x(beta-1) com beta até t+2, ou seja até argumento beta-1=t+1, que é futuro em relação a t. Então é não causal.

Passo 5

Como y(t) envolve a integral sobre um intervalo de tempo e não apenas x(t), o sistema tem memória.

Passo 6

Se lvert x(t)rvert<= M<infty para todo t, então
lvert y(t)rvert <=integralt-4^t+2llvert x(beta-1)rrvert,dbeta <=integralt-4^t+2M,dbeta =6M<infty
Logo, é BIBO-estável.

Resposta

linear
invariante no tempo
não causal
com memória
BIBO-estável

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