Classifique os sistemas a seguir com relação à linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-Estabilidade:
y(t)=integral-infty^t x(beta) d beta

Passo 1

O sistema é dado por
y(t)=integral-infty^tx(beta),dbeta.
Estamos em sinais e sistemas contínuos; vamos verificar linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-estabilidade.

Passo 2

Linearidade: seja x1mapsto y1 e x2mapsto y2. Para constantes a,b, o sistema em ax1+bx2 gera
y(t)=integral-infty^tl[a,x1(beta)+b,x2(beta)r]dbeta =aintegral-infty^tx1(beta)dbeta +bintegral-infty^tx2(beta)dbeta =a,y1(t)+b,y2(t)
Logo, o sistema é linear.

Passo 3

Invariância no tempo: faça x'(t)=x(t-t0). Então
y'(t)=integral-infty^tx'(beta),dbeta =integral-infty^tx(beta-t0),dbeta
Com a mudança de variável alpha=beta-t0, nota-se que os limites vão de -infty a t-t0, de modo que
y'(t)=integral-infty^t-t0x(alpha),dalpha =y(t-t0)
Logo, o sistema é invariante no tempo.

Passo 4

Causalidade: y(t) depende apenas de valores x(beta) com beta<= t. Não há dependência de futuros beta>t, portanto o sistema é causal.

Passo 5

Memória: como y(t) integra todo o histórico passado de x(beta), ele depende de valores anteriores a t, não apenas de x(t). Logo, o sistema tem memória (não é estático).

Passo 6

BIBO-estabilidade: suponha |x(t)|<= M<infty para todo t. Então
l|y(t)r| =l|integral-infty^tx(beta),dbetar| <=integral-infty^t|x(beta)|,dbeta <=integral-infty^tM,dbeta =Mcdotl(t-(-infty)r)=infty
Em geral y(t) pode divergir mesmo para sinal limitado, logo não é BIBO-estável.

Resposta

Linear, Invariância no Tempo, Causal, com Memória, não BIBO-estável.

Exercícios relacionados