Classifique: \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\sqrt{n}+1}{n}. (Leibniz + ver se é absoluta via comparação com 1 / \sqrt{n}.)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\sqrt{n}+1}{n}.
O conteúdo principal é o teste de Leibniz para séries alternadas e, em seguida, verificar convergência absoluta comparando com \tfrac1{\sqrt{n}}.

Passo 2

Definimos o termo positivo
b_{n} = \frac{\sqrt{n}+1}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}.
Primeiro, verificamos o limite
\lim_{n\to\infty}b_{n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{n}} + \tfrac{1}{n}\Bigr) = 0 + 0 = 0.

Passo 3

Agora mostramos que (b_{n}) é monótona decrescente para n grande. Considere a função contínua para x>0:
f(x) = \frac{\sqrt{x}+1}{x} = x^{-\tfrac12} + x^{-1}.
Sua derivada é
f'(x) = -\tfrac12\,x^{-\tfrac32} - x^{-2},
que é negativa para todo x>0. Logo, f é estritamente decrescente e, portanto, b_{n+1}<b_{n} a partir de algum n.

Passo 4

Como temos
  1. \lim_{n\to\infty}b_{n}=0,
  2. b_{n} decrescente,
    o teste de Leibniz garante que a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_{n}
converge.

Passo 5

Para verificar convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|(-1)^{n-1}b_{n}\bigr| = \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} = \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{n}} + \tfrac{1}{n}\Bigr).
Note que \tfrac{1}{\sqrt{n}}>0 e a série \sum n^{-1/2} é um p-série com p=\tfrac12, que diverge. Logo
\sum b_{n} \ge \sum \tfrac{1}{\sqrt{n}} = \infty,
implicando que não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente).

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