Encontre R e o intervalo de \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{3^{n}} x^{n}.

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{3^{n}}\,x^{n}.
Queremos determinar o raio de convergência R e o intervalo de convergência real. Para isso, vamos usar o Teste da razão para séries de potências e depois testar os extremos x=\pm R.

Passo 2

Defina a_{n}=\frac{n^{2}}{3^{n}}. Pelo Teste da razão, analisamos
\left|\frac{a_{n+1}\,x^{n+1}}{a_{n}\,x^{n}}\right| =\frac{(n+1)^{2}}{3^{\,n+1}}\;\frac{3^{\,n}}{n^{2}}\;\bigl|x\bigr| =\Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)^{2}\,\frac{|x|}{3}.
Ao fazer n\to\infty, temos \bigl(\tfrac{n+1}{n}\bigr)^{2}\to1, de modo que o limite do quociente é
\displaystyle\frac{|x|}{3}.

Passo 3

O Teste da razão diz que a série converge sempre que
\frac{|x|}{3}<1,
isto é, quando |x|<3. Portanto o raio de convergência é
R=3.

Passo 4

Agora examinamos os extremos:
  • Para x=3, a série fica
    \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}, cujo termo geral não tende a zero, logo diverge.
  • Para x=-3, a série fica
    \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}n^{2}, cujo termo geral também não tende a zero, logo diverge.

Passo 5

Concluímos que a série converge estritamente quando |x|<3 e diverge em |x|\ge3. O intervalo de convergência real é
(-3,3).

Resposta

R=3 e o intervalo de convergência é (-3,3).

Exercícios relacionados