Converge ou diverge? \sum_{n=2}^{\infty} \frac{5 n+2}{n^{3}-n}. (Compare com 1 / n^{2}.)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{5n+2}{n^3 - n}
converge ou diverge, sugerindo comparação com a série 1/n^2. O conteúdo aqui é o teste de comparação para séries de termos positivos.

Passo 2

O termo geral é a_n = \frac{5n+2}{n^3 - n}. Para n\ge 2 temos
n^3 - n = n(n^2 - 1) \ge \frac12\,n^3
e, portanto,
a_n = \frac{5n+2}{n^3 - n} \le \frac{5n+2}{\tfrac12\,n^3} = \frac{2(5n+2)}{n^3} = \frac{10}{n^2} + \frac{4}{n^3} \le \frac{14}{n^2}.

Passo 3

Tomamos a série de referência \sum b_n com b_n = 1/n^2, que é convergente pois é uma série p com p=2>1. Como 0 \le a_n \le 14\,b_n para todo n\ge2, o teste de comparação direta garante que \sum a_n converge.

Resposta

A série converge.

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