Encontre R e o intervalo de convergência de \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-1)^{n}}{n+2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potência centrada em x_{0}=1:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-1)^{n}}{n+2},
e pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da raiz para séries de potência e depois verificar os pontos extremos.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz, que diz que a série converge se
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{(x-1)^{n}}{n+2}\right|}<1.
Como
\sqrt[n]{\left|\frac{(x-1)^{n}}{n+2}\right|} =\;|x-1|\;\sqrt[n]{\frac{1}{n+2}}
e
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n+2}}=1,
ficamos com a condição
|x-1|<1.

Passo 3

Da desigualdade |x-1|<1 segue que o raio de convergência é
R=1
e que a série converge absolutamente para todos x tais que
|x-1|<1,
isto é, no intervalo aberto (0,2).

Passo 4

Agora testamos o extremo direito x=2. Substituindo na série:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2-1)^{n}}{n+2} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+2}.
Essa é uma série harmônica deslocada, que diverge (comparação com \sum1/n).

Passo 5

Testamos o extremo esquerdo x=0. Então
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(0-1)^{n}}{n+2} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+2}.
Os termos \dfrac{1}{n+2} são positivos, monótonos decrescentes e tendem a zero, logo por critério de Leibniz a série converge condicionalmente em x=0.

Passo 6

Juntando tudo, o conjunto de pontos onde a série converge é
0 \le x < 2,
ou seja, o intervalo de convergência é [0,2).

Resposta

R = 1, intervalo de convergência [0,2).

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