Decida se converge: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 n^{2}-1}{n^{6}+7}. (Comparação-limite com 1 / n^{4}.)

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n^{2}-1}{n^{6}+7}
e sugere usar o teste de comparação-limite com a série de termo geral \displaystyle\frac{1}{n^{4}}. Vamos aplicar o teste de comparação-limite para verificar convergência.

Passo 2

Definimos
\displaystyle a_{n} = \frac{3n^{2}-1}{n^{6}+7}
e
\displaystyle b_{n} = \frac{1}{n^{4}}.
Sabemos que \displaystyle\sum b_{n} é uma série p-com p=4>1, portanto ela converge.

Passo 3

Calculamos o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3n^{2}-1}{n^{6}+7}}{\frac{1}{n^{4}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{3n^{2}-1}{n^{6}+7}\,\cdot n^{4} = \lim_{n\to\infty}\frac{3n^{6}-n^{4}}{n^{6}+7} = 3.
Como esse limite é finito e não nulo, pelo teste de comparação-limite as duas séries têm o mesmo comportamento.

Passo 4

Como \displaystyle\sum b_{n} converge e o limite acima é 3>0, concluímos que
\displaystyle\sum a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n^{2}-1}{n^{6}+7}
também converge.

Resposta

A série converge.

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