Classifique a superfície
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S: \frac{x{2}}{10}+\frac{y{2}}{9}+\frac{z^{2}}{5}=1
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como elipsoide, hiperboloide de uma folha, hiperboloide de duas folhas, cone elíptico, paraboloide elíptico ou paraboloide hiperbólico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou a equação da superfície S: x^210 + y^29 + z^25 = 1 e quer saber que tipo de superfície isso representa. A matéria que estamos mexendo aqui é Geometria Analítica, focando nas superfícies quádricas. Para resolver, vamos comparar essa equação com as formas padrão das superfícies que você mencionou.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que superfícies quádricas são aquelas definidas por equações do segundo grau em três variáveis (x, y, z). Elas podem representar diferentes formas, como elipsoides, hiperboloides, cones, paraboloides, entre outras.

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação que você deu:
x^210 + y^29 + z^25 = 1
Perceba que todas as variáveis estão elevadas ao quadrado e estão somando, igualando a 1. Além disso, os denominadores são positivos.

Passo 4

Vamos comparar isso com a forma padrão de um elipsoide, que é:
x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 = 1
Onde a , b e c são constantes positivas que definem os raios do elipsoide em cada direção.

Passo 5

Observando a nossa equação e a forma padrão, vemos que elas são muito parecidas:
x^210 + y^29 + z^25 = 1
Aqui, a^2 = 10 , b^2 = 9 e c^2 = 5 . Todos os denominadores são positivos e as variáveis somam igual a 1, assim como no elipsoide padrão.

Passo 6

Vamos também lembrar das outras superfícies para confirmar:
  • Hiperboloide de uma folha: tem uma mistura de sinais, tipo x^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2 = 1 .
  • Hiperboloide de duas folhas: também tem sinais misturados, como -x^2a^2 - y^2b^2 + z^2c^2 = 1 .
  • Cone Elíptico: geralmente se expressa com x^2a^2 + y^2b^2 - z^2 = 0 .
  • Paraboloides: têm uma mistura de termos quadráticos e lineares.
Nenhuma dessas se encaixa na nossa equação, que tem todos os termos positivos e igual a 1.

Resposta

A superfície S: x^210 + y^29 + z^25 = 1 é um elipsoide.

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