Encontre o Wronskiano das soluções e e verifique que ele é diferente de zero, logo as soluções podem ser usadas para construir soluções gerais da equação diferencial com quaisquer condições iniciais prescritas para qualquer valor de .
Passo 1
Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas soluções de uma equação diferencial:
O que precisamos fazer aqui é calcular o Wronskiano dessas duas soluções. O Wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a determinar se as soluções são linearmente independentes. Se o Wronskiano for diferente de zero, isso significa que as soluções são independentes e, portanto, podemos usá-las para formar a solução geral da equação diferencial, atendendo a quaisquer condições iniciais.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular o Wronskiano de duas funções e quais são as suas implicações.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar como calcular o Wronskiano de duas funções e . O Wronskiano é definido como o determinante da seguinte matriz:
Ou seja, precisamos das funções originais e das suas derivadas.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas das soluções dadas.
Para y1 = e^(1+raiz3) t :
A derivada de uma função exponencial da forma e^kt é ke^kt . Então,
y1' = (1+raiz3) e^(1+raiz3) t
Para y2 = e^(1-raiz3) t :
Aplicando a mesma regra,
y2' = (1-raiz3) e^(1-raiz3) t
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz do Wronskiano com essas informações:
W(y1, y2) = e^(1+raiz3) t & e^(1-raiz3) t (1+raiz3) e^(1+raiz3) t & (1-raiz3) e^(1-raiz3) t
Para calcular o determinante dessa matriz, usamos a regra:
det a & b c & d = ad - bc
Aplicando isso, temos:
W = e^(1+raiz3) t cdot (1-raiz3) e^(1-raiz3) t - e^(1-raiz3) t cdot (1+raiz3) e^(1+raiz3) t
Passo 5
Vamos simplificar a expressão. Observe que e^(1+raiz3) t cdot e^(1-raiz3) t = e^2t , pois as potências se somam:
Como -2raiz3 cdot e^2t nunca é zero para qualquer valor de t , as soluções são linearmente independentes e podem ser usadas para construir a solução geral da equação diferencial com quaisquer condições iniciais.