Mostre que a equação dada, em cada caso, descreve uma elipse de centro O e focos em Ox ou Oy. Calcule as medidas dos eixos maior e menor e a distância focal. Escreva as coordenadas dos vértices e dos focos.
16 x^2+y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu a equação 16x^2 + y^2 = 1 e precisa mostrar que ela representa uma elipse com centro na origem (ponto O) e focos em Ox ou Oy. Também vamos calcular os tamanhos dos eixos maior e menor, a distância entre os focos e as coordenadas dos vértices e focos. Para isso, vamos usar a teoria das elipses e manipular a equação para identificar esses elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma padrão da equação de uma elipse centrada na origem:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Aqui, a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor. Se a > b, a elipse está estendida no eixo x (Ox), se b > a, está no eixo y (Oy).

Passo 3

Vamos manipular a equação dada para colocá-la na forma padrão. Temos:
16x^2 + y^2 = 1
Dividindo tudo por 1 para isolar os termos:
x^2116 + y^21 = 1
Agora, comparando com a forma padrão, identificamos:
a^2 = 116 e b^2 = 1

Passo 4

Vamos encontrar os valores de a e b:
a = raiz116 = 14
b = raiz1 = 1
Como b > a, isso significa que o eixo maior está no y (Oy) e o menor no x (Ox).

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância focal ( c), que é a distância do centro aos focos. A relação entre a, b e c em uma elipse é:
c = raizb^2 - a^2
Substituindo os valores:
c = raiz1 - (14)^2 = raiz1 - 116 = raiz1516 = raiz154

Passo 6

Vamos agora determinar as coordenadas dos vértices. Como o eixo maior está no y, os vértices estão a uma distância b acima e abaixo do centro:
Vértices: (0, b) e (0, -b) = (0, 1) e (0, -1) é

Passo 7

Por fim, as coordenadas dos focos, que também estão no eixo maior ( y):
Focos: (0, c) e (0, -c) = (0, raiz154) e (0, -raiz154)

Resposta

A equação 16x^2 + y^2 = 1 descreve uma elipse com centro na origem O, eixo maior no y e eixo menor no x. O eixo maior tem comprimento 2b = 2, o eixo menor tem comprimento 2a = 12, a distância focal é raiz152. As coordenadas dos vértices são (0, 1) e (0, -1), e as coordenadas dos focos são (0, raiz154) e (0, -raiz154).

Exercícios relacionados