Mostre que a equação dada, em cada caso, descreve uma elipse de centro
e focos em
ou
. Calcule as medidas dos eixos maior e menor e a distância focal. Escreva as coordenadas dos vértices e dos focos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu a equação
e precisa mostrar que ela representa uma elipse com centro na origem (ponto
) e focos em
ou
. Também vamos calcular os tamanhos dos eixos maior e menor, a distância entre os focos e as coordenadas dos vértices e focos. Para isso, vamos usar a teoria das elipses e manipular a equação para identificar esses elementos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a forma padrão da equação de uma elipse centrada na origem:
Aqui,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor. Se
, a elipse está estendida no eixo
(Ox), se
, está no eixo
(Oy).
Passo 3
Vamos manipular a equação dada para colocá-la na forma padrão. Temos:
Dividindo tudo por 1 para isolar os termos:
Agora, comparando com a forma padrão, identificamos:
Passo 4
Vamos encontrar os valores de
e
:
Como
, isso significa que o eixo maior está no
(Oy) e o menor no
(Ox).
Passo 5
Agora, vamos calcular a distância focal (
), que é a distância do centro aos focos. A relação entre
,
e
em uma elipse é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos agora determinar as coordenadas dos vértices. Como o eixo maior está no
, os vértices estão a uma distância
acima e abaixo do centro:
Passo 7
Por fim, as coordenadas dos focos, que também estão no eixo maior (
):
Resposta
A equação
descreve uma elipse com centro na origem
, eixo maior no
e eixo menor no
. O eixo maior tem comprimento
, o eixo menor tem comprimento
, a distância focal é
. As coordenadas dos vértices são
e
, e as coordenadas dos focos são
e
.