Mostre que a equação dada, em cada caso, descreve uma elipse de centro O e focos em Ox ou Oy. Calcule as medidas dos eixos maior e menor e a distância focal. Escreva as coordenadas dos vértices e dos focos.
8 x^2+3 y^2=24

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! A gente precisa mostrar que a equação 8x^2 + 3y^2 = 24 representa uma elipse com centro na origem (ponto O) e focos ao longo do eixo Ox ou Oy. Além disso, precisamos calcular o comprimento dos eixos maior e menor, a distância entre os focos, e as coordenadas dos vértices e dos focos. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica, especificamente sobre as equações das elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos: 8x^2 + 3y^2 = 24. Essa é uma equação quadrática que, dependendo dos coeficientes de x^2 e y^2, pode representar diferentes cônicas, como elipses, hipérboles ou parábolas.
Para identificar se é uma elipse, precisamos ver se os coeficientes de x^2 e y^2 são positivos e diferentes entre si, o que é o caso aqui (8 e 3 são positivos e diferentes). Então, temos uma elipse.

Passo 3

Agora, vamos transformar a equação geral da elipse na forma padrão. A forma padrão de uma elipse centrada na origem é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Onde:
  • a é o semi-eixo maior,
  • b é o semi-eixo menor.
Para chegar nessa forma, vamos dividir toda a equação 8x^2 + 3y^2 = 24 por 24:
8x^224 + 3y^224 = 2424
Simplificando:
x^23 + y^28 = 1

Passo 4

Comparando com a forma padrão, identificamos que:
a^2 = 8 e b^2 = 3
Então, para encontrar a e b, vamos tirar a raiz quadrada:
a = raiz8 = 2raiz2 e b = raiz3
Aqui, a > b, o que indica que o eixo maior está ao longo do eixo Ox.

Passo 5

Com a = 2raiz2 e b = raiz3, podemos agora determinar a distância focal c usando a relação:
c^2 = a^2 - b^2
Substituindo os valores:
c^2 = 8 - 3 = 5 Rightarrow c = raiz5

Passo 6

Agora, vamos identificar as coordenadas dos vértices e dos focos.
Como o eixo maior está no eixo Ox, os vértices estão a uma distância a da origem ao longo de Ox. Então, os vértices são:
V1 = (-2raiz2, 0) e V2 = (2raiz2, 0)
Os focos também estão ao longo de Ox, a uma distância c da origem:
F1 = (-raiz5, 0) e F2 = (raiz5, 0)

Resposta

A equação 8x^2 + 3y^2 = 24 representa uma elipse centrada na origem com foco no eixo Ox. O eixo maior tem comprimento 4raiz2, o eixo menor tem comprimento 2raiz3, e a distância entre os focos é 2raiz5. As coordenadas dos vértices são (-2raiz2, 0) e (2raiz2, 0), e as coordenadas dos focos são (- raiz5, 0) e (raiz5, 0).

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