Mostre que a equação dada, em cada caso, descreve uma elipse de centro
e focos em
ou
. Calcule as medidas dos eixos maior e menor e a distância focal. Escreva as coordenadas dos vértices e dos focos.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! A gente precisa mostrar que a equação
representa uma elipse com centro na origem (ponto
) e focos ao longo do eixo
ou
. Além disso, precisamos calcular o comprimento dos eixos maior e menor, a distância entre os focos, e as coordenadas dos vértices e dos focos. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica, especificamente sobre as equações das elipses.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
. Essa é uma equação quadrática que, dependendo dos coeficientes de
e
, pode representar diferentes cônicas, como elipses, hipérboles ou parábolas.
Para identificar se é uma elipse, precisamos ver se os coeficientes de
e
são positivos e diferentes entre si, o que é o caso aqui (8 e 3 são positivos e diferentes). Então, temos uma elipse.
Passo 3
Agora, vamos transformar a equação geral da elipse na forma padrão. A forma padrão de uma elipse centrada na origem é:
Onde:
-
é o semi-eixo maior, -
é o semi-eixo menor.
Para chegar nessa forma, vamos dividir toda a equação
por 24:
Simplificando:
Passo 4
Comparando com a forma padrão, identificamos que:
Então, para encontrar
e
, vamos tirar a raiz quadrada:
Aqui,
, o que indica que o eixo maior está ao longo do eixo
.
Passo 5
Com
e
, podemos agora determinar a distância focal
usando a relação:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos identificar as coordenadas dos vértices e dos focos.
Como o eixo maior está no eixo
, os vértices estão a uma distância
da origem ao longo de
. Então, os vértices são:
Os focos também estão ao longo de
, a uma distância
da origem:
Resposta
A equação
representa uma elipse centrada na origem com foco no eixo
. O eixo maior tem comprimento
, o eixo menor tem comprimento
, e a distância entre os focos é
. As coordenadas dos vértices são
e
, e as coordenadas dos focos são
e
.