Resolver a equação diferencial para y=y(t)
y^prime prime-2 y^prime-2 y=0
R. y(t)=c1 e^(1+raiz3) t+c2 e^(1-raiz3) t

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea
y'' - 2y' - 2y = 0
Esse tipo de EDO com coeficientes constantes é resolvido pelo método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y(t)=e^rt. Substituindo na EDO:
r^2 e^rt - 2r e^rt - 2e^rt = 0
Como e^rtneq0, a parte que nos interessa é a equação característica
r^2 - 2r - 2 = 0

Passo 3

Resolvendo
r^2 - 2r - 2 = 0
pela fórmula de Bhaskara, temos
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4cdot1cdot(-2)2 = 2 pm raiz4 + 82 = 2 pm raiz122 = 1 pm raiz3

Passo 4

As raízes são reais e distintas, r1 = 1 + raiz3 e r2 = 1 - raiz3. Logo, a solução geral é
y(t) = c1,e^(1+raiz3)t + c2,e^(1-raiz3)t,
onde c1 e c2 são constantes de integração determinadas por condições iniciais.

Resposta

y(t) = c1,e^(1+raiz3)t + c2,e^(1-raiz3)t

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