Classifique as superfícies cujas equações cartesianas, em coordenadas ( x, y, z ), são dadas por
(a) x^2-y^2+z^2-4 x-2 y-2 z+4=0;
(b) x^2-y^2+z^2-2 x+2 y+4 z+2=0.

Passo 1

O enunciado pede para identificar o tipo de cada superfície quádrupla dada pelas equações
(a) x^2-y^2+z^2-4x-2y-2z+4=0
(b) x^2-y^2+z^2-2x+2y+4z+2=0
Aqui vamos usar completamento de quadrados em cada variável e, a seguir, analisar os sinais dos termos quadráticos para classificar cada quádrupla (elipsoide, hiperbolóide, cone etc.).

Passo 2

Completamos quadrados na equação (a).
Para os termos em x, y e z temos:
x^2-4x = (x-2)^2-4,
-y^2-2y = -l(y^2+2yr) = -l((y+1)^2-1r) = -(y+1)^2+1,
z^2-2z = (z-1)^2-1
Substituindo em
x^2-y^2+z^2-4x-2y-2z+4=0
obtemos
(x-2)^2-4 ;+; l[-(y+1)^2+1r];+;(z-1)^2-1 ;+;4 ;=;0
e, juntando constantes,
(x-2)^2 + (z-1)^2 - (y+1)^2 = 0

Passo 3

A forma
(x-2)^2 + (z-1)^2 - (y+1)^2 = 0
é a equação de um cone duplo real (quadricular degenerado) com vértice em (2,-1,1). Trata-se de um cone de revolução em torno do eixo paralelo a y, pois os coeficientes de (x-2)^2 e (z-1)^2 são iguais.

Passo 4

Agora, completamos quadrados na equação (b).
Para cada variável:
x^2-2x = (x-1)^2-1,
-y^2+2y = -(y^2-2y) = -l((y-1)^2-1r) = -(y-1)^2+1,
z^2+4z = (z+2)^2-4
Substituindo em
x^2-y^2+z^2-2x+2y+4z+2=0
(x-1)^2-1 ;+;l[-(y-1)^2+1r];+;(z+2)^2-4;+;2;=;0
e somando constantes:
(x-1)^2 + (z+2)^2 - (y-1)^2 = 2
Dividindo por 2,
(x-1)^22 + (z+2)^22 - (y-1)^22 = 1

Passo 5

Na forma
(x-1)^22 + (z+2)^22 - (y-1)^22 = 1
temos dois termos positivos e um negativo no lado esquerdo, igual a +1. Isto caracteriza um hiperbolóide de uma folha (superfície conectada), centrado em (1,1,-2), com eixo principal paralelo ao eixo y.

Resposta

(a) Cone duplo real (cone de revolução) com vértice em (2,-1,1).
(b) Hiperbolóide de uma folha, centrado em (1,1,-2).

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