Classifique as superfícies cujas equações cartesianas, em coordenadas (
), são dadas por
(a)
;
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para identificar o tipo de cada superfície quádrupla dada pelas equações
(a)
(b)
Aqui vamos usar completamento de quadrados em cada variável e, a seguir, analisar os sinais dos termos quadráticos para classificar cada quádrupla (elipsoide, hiperbolóide, cone etc.).
(a)
(b)
Aqui vamos usar completamento de quadrados em cada variável e, a seguir, analisar os sinais dos termos quadráticos para classificar cada quádrupla (elipsoide, hiperbolóide, cone etc.).
Passo 2
Completamos quadrados na equação (a).
Para os termos em ,
e
temos:
Para os termos em
Substituindo em
obtemos
e, juntando constantes,
Passo 3
A forma
é a equação de um cone duplo real (quadricular degenerado) com vértice em
. Trata-se de um cone de revolução em torno do eixo paralelo a
, pois os coeficientes de
e
são iguais.
Passo 4
Agora, completamos quadrados na equação (b).
Para cada variável:
Para cada variável:
Substituindo em
dá
e somando constantes:
Dividindo por
,
Passo 5
Na forma
temos dois termos positivos e um negativo no lado esquerdo, igual a
. Isto caracteriza um hiperbolóide de uma folha (superfície conectada), centrado em
, com eixo principal paralelo ao eixo
.
Resposta
(a) Cone duplo real (cone de revolução) com vértice em
.
(b) Hiperbolóide de uma folha, centrado em .
(b) Hiperbolóide de uma folha, centrado em