Considere a superfície cuja equação geral em coordenadas cartesianas (x, y, z) é dada por
9 x^2+9 y^2+z^2+18 y-4 z+4=0
(a) Identifique a quádrica;
(b) Determine o vetor (x0, y0, z0) que representa a translação da superfície.

Passo 1

O enunciado dá a superfície em (x,y,z)
9x^2+9y^2+z^2+18y-4z+4=0
e pede (a) que a gente diga que tipo de quádricas é e (b) qual é o vetor (x0,y0,z0) que centraliza a superfície. Para isso, vamos completar quadrados em y e em z e depois escrever a forma canônica.

Passo 2

Começo agrupando os termos em y e em z:
9y^2+18y = 9l(y^2+2yr) = 9l[(y+1)^2-1r] = 9(y+1)^2-9,
z^2-4z = (z-2)^2-4

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação original:
9x^2 + l[9(y+1)^2-9r] + l[(z-2)^2-4r] + 4 = 0
que simplifica para
9x^2 + 9(y+1)^2 + (z-2)^2 -9 -4 +4 = 0 Longrightarrow 9x^2 + 9(y+1)^2 + (z-2)^2 = 9
Dividindo tudo por 9:
x^21 + (y+1)^21 + (z-2)^29 = 1

Passo 4

Na forma
(x-0)^21^2 + (y-(-1))^21^2 + (z-2)^23^2 = 1
vemos que todos os denominadores são positivos e diferentes, logo a superfície é um elipsoide (eixos semi-comprimento 1,1,3), com centro em (0,-1,2).

Passo 5

Para levar o centro até a origem, definimos
X = x - 0, Y = y - (-1) = y+1, Z = z - 2
Isso equivale à translação pelo vetor
(x0,y0,z0) = (0,-1,2).

Resposta

(a) É um elipsoide de centro (0,-1,2) e semi-eixos 1,1,3.
(b) O vetor de translação é (x0,y0,z0) = (0,-1,2).

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