Considere as superfícies cujas equações são dadas nos itens a seguir. Identifique estas superfícies.
(a) x=3+u-v ; y=3 v-u ; z=u+v ; com u, v in R;
(b) x=v, y=v^2-u^2, z=u, com u, v in R.

Passo 1

O enunciado nos dá duas superfícies parametrizadas em R^3 e pede que a gente identifique o tipo de cada uma. O conteúdo aqui é geometria de superfícies:
– Em (a) vamos escrever a parametrização em forma vetorial, extrair dois vetores diretores e um ponto, e mostrar que isso define um plano.
– Em (b) vamos eliminar os parâmetros u,v para obter a equação cartesiana em x,y,z e reconhecer o tipo de quádricas.

Passo 2

Para (a), escrevemos
r(u,v) = l(x,y,zr) = (3,0,0) + u,(1,-1,1) + v,(-1,3,1)
Aqui (1,-1,1) e (-1,3,1) são vetores diretores e (3,0,0) é um ponto. Qualquer superfície dada por um ponto mais combinações lineares de dois vetores é um plano afim.

Passo 3

Para achar a forma implícita desse plano, basta calcular um vetor normal n a partir do produto vetorial:
n = (1,-1,1)times(-1,3,1) = (-4,-2,2)
Logo a equação do plano é
-4,(x-3)-2,(y-0)+2,(z-0)=0 Long<=ftrightarrow 4x+2y-2z-12=0

Passo 4

Para (b), note que x=v e z=u. Substituindo em y=v^2-u^2 obtemos
y = x^2 - z^2
Isso nos dá diretamente a equação cartesiana da superfície.

Passo 5

A equação
y = x^2 - z^2
é a forma padrão de um paraboloide hiperbólico (sela), pois um quadrado aparece com sinal positivo e o outro com sinal negativo.

Resposta

(a) Plano afim em R^3 com equação 4x+2y-2z-12=0.
(b) Paraboloide hiperbólico dado por y = x^2 - z^2.

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