Considere as superfícies cujas equações são dadas nos itens a seguir. Identifique estas superfícies.
(a)
com
;
(b)
, com
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado nos dá duas superfícies parametrizadas em
e pede que a gente identifique o tipo de cada uma. O conteúdo aqui é geometria de superfícies:
– Em (a) vamos escrever a parametrização em forma vetorial, extrair dois vetores diretores e um ponto, e mostrar que isso define um plano.
– Em (b) vamos eliminar os parâmetros para obter a equação cartesiana em
e reconhecer o tipo de quádricas.
– Em (a) vamos escrever a parametrização em forma vetorial, extrair dois vetores diretores e um ponto, e mostrar que isso define um plano.
– Em (b) vamos eliminar os parâmetros
Passo 2
Para (a), escrevemos
Aqui
e
são vetores diretores e
é um ponto. Qualquer superfície dada por um ponto mais combinações lineares de dois vetores é um plano afim.
Passo 3
Para achar a forma implícita desse plano, basta calcular um vetor normal
a partir do produto vetorial:
Logo a equação do plano é
Passo 4
Para (b), note que
e
. Substituindo em
obtemos
Isso nos dá diretamente a equação cartesiana da superfície.
Passo 5
A equação
é a forma padrão de um paraboloide hiperbólico (sela), pois um quadrado aparece com sinal positivo e o outro com sinal negativo.
Resposta
(a) Plano afim em
com equação
.
(b) Paraboloide hiperbólico dado por .
(b) Paraboloide hiperbólico dado por