Esboce as curvas de níveis em relação aos planos x=k, k in Z das superfícies:
(a) x=cosh (v) cos (u), y=senh(v), z=cosh (v) sen(u) com u, v in R;
(b) x=u, y= pm raizu^2+v^2, z=v com u, v in R.

Passo 1

O enunciado pede as curvas de nível da superfície parametrizada quando intersectada pelos planos x=k, com kinZ. Vamos, para cada caso, impor x=k, eliminar os parâmetros (u,v) e obter uma equação envolvendo apenas y e z. O conteúdo é geometria de curvas em parâmetros e identificação de hipérboles no plano yz.

Passo 2

Para o caso (a) temos
x=cosh(v)cos(u)=k,
y=sinh(v),
z=cosh(v)sin(u)
Como sinh(v)=y implica cosh(v)=raiz1+y^2, da primeira equação vem
cos(u)=kraiz1+y^2
Como sin^2(u)=1-cos^2(u), então
z=raiz1+y^2,sin(u) Longrightarrow z^2=(1+y^2)l(1-k^21+y^2r) =(1+y^2)-k^2
Rearranjando a expressão de z^2 obtemos
z^2 - y^2 = 1 - k^2 Long<=ftrightarrow y^2 - z^2 = k^2 - 1
Isto é a equação de uma hipérbole centrada na origem do plano yz, com vértices em l(pmraizk^2-1,0r). Como cosh(v)>=1, só há interseção real para |k|>=1. Para |k|<1 não existem curvas de nível.

Passo 3

Para o caso (b) temos
x=u=k,
y=pmraizu^2+v^2=pmraizk^2+v^2,
z=v
Elevando ao quadrado em y e isolando, resulta
y^2 = k^2+z^2 Longrightarrow y^2 - z^2 = k^2
A relação y^2 - z^2 = k^2 também define uma hipérbole centrada na origem do plano yz, com eixos ao longo de y. Para k=0 essa hipérbole degenera nas retas y=pm z. Não há restrição adicional em v, então para todo kinZ existe interseção."]))print( defau<api.SolutionSteps( solutionsteps =[

Resposta

(a) As curvas de nível são hipérboles no plano yz dadas por
y^2 - z^2 = k^2 - 1,
válidas somente para |k|>=1.
(b) As curvas de nível são hipérboles no plano yz dadas por
y^2 - z^2 = k^2,
com duas componentes y=pmraizk^2+z^2; para k=0 reduzem-se às retas y=pm z.

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