Considere as superfície cuja equação geral em coordenadas cartesianas (x, y, z) é dada por
36 x^2+4 y^2+9 z^2-72 x+8 y+4=0
(a) Identifique a quádrica;
(b) Determine o vetor (x0, y0, z0) que representa a translação da superfície.

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádricade definida por
36x^2 + 4y^2 + 9z^2 - 72x + 8y + 4 = 0,
e pede
(a) identificar o tipo da quádruica,
(b) determinar o vetor (x0,y0,z0) da translação que leva a equação à forma canônica. Vamos completar quadrados para chegar à forma padrão.

Passo 2

Agrupamos os termos de x, y e z e completamos o quadrado em cada um:
Para x:
36x^2 - 72x = 36l(x^2-2xr) =36l((x-1)^2-1r) =36(x-1)^2-36
Para y:
4y^2 + 8y = 4l(y^2+2yr) =4l((y+1)^2-1r) =4(y+1)^2-4
Para z:
9z^2 = 9(z-0)^2

Passo 3

Substituindo na equação original e recolhendo os termos independentes, obtemos
36(x-1)^2-36 ;+;4(y+1)^2-4;+;9(z-0)^2;+;4 ;=;0
36(x-1)^2 + 4(y+1)^2 + 9z^2 -36 = 0 Longrightarrow 36(x-1)^2 + 4(y+1)^2 + 9z^2 = 36
Dividindo ambos os lados por 36, chega-se à forma canônica
(x-1)^21 + (y+1)^29 + z^24 = 1

Passo 4

A equação
(x-1)^21 + (y+1)^29 + z^24 = 1
é a forma padrão de um elipsoide centrado em (1,-1,0). Portanto:
– A quádruica é um elipsoide.
– O vetor de translação que leva a superfície à forma canônica é (x0,y0,z0) = (1,-1,0).

Resposta

(a) Elipsoide.
(b) (x0,y0,z0) = (1,-1,0).

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