Classifique as superficies quadráticas e esboce seus gráficos:
y=x^2+1

Passo 1

O enunciado pede para classificar a superfície de segundo grau dada por
y = x^2 + 1
e esboçar seu gráfico. O conteúdo aqui é classificação de superfícies quadráticas em R^3, identificando se é elipsoide, paraboloide, cilindro, etc. Vamos notar que só aparecem x e y, o que vai determinar o tipo de superfície.

Passo 2

Reescrevendo em forma implícita temos
F(x,y,z)=y - x^2 -1=0
Perceba que não há z na equação, isto significa que, para cada ponto (x,y) que satisfaz y=x^2+1, qualquer valor de z também satisfaz. Logo, a superfície é obtida “esticando” a curva y=x^2+1 ao longo do eixo z.

Passo 3

Para confirmar que é um cilindro parabólico, analisamos os traços:
  1. Traço em planos z= constante: nesses planos a equação reduz-se a y = x^2 +1, que é uma parábola no plano xy com vértice em (0,1).
  2. Traço em planos x= constante: fixando x=x0 temos y = x0^2 +1, ou seja, retas paralelas ao eixo z em y=x0^2+1.
  3. Traço em planos y= constante: para y=y0 a equação y0 = x^2+1 só tem solução real se y0>=1, gerando duas retas verticais x=pmraizy0-1, também paralelas a z.
Esses traços caracterizam exatamente um cilindro parabólico cujo geratriz é paralela ao eixo z.

Passo 4

Para esboçar, desenhe primeiro a parábola y=x^2+1 no plano xy: vértice em (0,1), concavidade para cima. Depois imagine copiar essa curva para cada valor de z, formando uma “parede” curva que se estende indefinidamente ao longo de z.

Resposta

A superfície é um cilindro parabólico, obtido estendendo a parábola ,y=x^2+1 paralelamente ao eixo z. O traço no plano z= constante é sempre a curva y=x^2+1.

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