Classifique as superficies quadráticas e esboce seus gráficos:
Passo 1
O enunciado pede para classificar a superfície de segundo grau dada por
e esboçar seu gráfico. O conteúdo aqui é classificação de superfícies quadráticas em
, identificando se é elipsoide, paraboloide, cilindro, etc. Vamos notar que só aparecem
e
, o que vai determinar o tipo de superfície.
Passo 2
Reescrevendo em forma implícita temos
Perceba que não há
na equação, isto significa que, para cada ponto
que satisfaz
, qualquer valor de
também satisfaz. Logo, a superfície é obtida “esticando” a curva
ao longo do eixo
.
Passo 3
Para confirmar que é um cilindro parabólico, analisamos os traços:
- Traço em planos
constante: nesses planos a equação reduz-se a que é uma parábola no plano com vértice em . - Traço em planos
constante: fixando temos ou seja, retas paralelas ao eixo em . - Traço em planos
constante: para a equação só tem solução real se , gerando duas retas verticais , também paralelas a .
Esses traços caracterizam exatamente um cilindro parabólico cujo geratriz é paralela ao eixo
.
Passo 4
Para esboçar, desenhe primeiro a parábola
no plano
: vértice em
, concavidade para cima. Depois imagine copiar essa curva para cada valor de
, formando uma “parede” curva que se estende indefinidamente ao longo de
.
Resposta
A superfície é um cilindro parabólico, obtido estendendo a parábola
paralelamente ao eixo
. O traço no plano
constante é sempre a curva
.