Seja X uma função densidade de probabilidade:
f(x)= c x^2 & se 0 <= x <= 1 c & se 1 <= x <= 2
O valor da constante c tal que f seja uma função de probabilidade é
a) 1 / 2
b) 3 / 4
c) 2 / 3
d) 1 / 3
e) 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o valor da constante c que torna f(x) uma função de densidade de probabilidade. Isso está relacionado ao conteúdo de Probabilidade e Estatística, especificamente sobre funções densidade. Para resolver isso, precisamos garantir que a integral de f(x) em todo o seu domínio seja igual a 1, que é uma propriedade fundamental de qualquer função de densidade de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função [f(x)). Ela é definida de duas maneiras dependendo do valor de :
Isso significa que para é igual a , e para entre 1 e 2, é apenas .

Passo 3

Agora, para que f(x) seja uma função de densidade de probabilidade válida, a área total sob a curva de f(x) deve ser igual a 1. Matemáticamente, isso é expresso como:
integral0^2 f(x) , dx = 1
Vamos dividir essa integral de acordo com as duas partes da função.

Passo 4

Primeiro, integramos c x^2 de 0 a 1:
integral0^1 c x^2 , dx = c integral0^1 x^2 , dx = c [ x^33 ]0^1 = c ( 13 - 0 ) = c3
Então, essa parte da integral dá c3 .

Passo 5

Depois, integramos c de 1 a 2:
integral1^2 c , dx = c integral1^2 1 , dx = c [x]1^2 = c (2 - 1) = c
Essa parte da integral resulta em c .

Passo 6

Agora, somamos as duas integrais e igualamos a 1:
c3 + c = 1
Para resolver essa equação, vamos somar os termos com c :
c3 + 3c3 = 4c3 = 1

Passo 7

Agora, resolvemos para c :
4c3 = 1 implies 4c = 3 implies c = 34

Resposta

O valor da constante c é 34 , ou seja, a opção b) 34 .

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