Seja
uma função densidade de probabilidade:
O valor da constante
tal que
seja uma função de probabilidade é
a)
b)
c)
d)
e) 1
a)
b)
c)
d)
e) 1
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o valor da constante
que torna
uma função de densidade de probabilidade. Isso está relacionado ao conteúdo de Probabilidade e Estatística, especificamente sobre funções densidade. Para resolver isso, precisamos garantir que a integral de
em todo o seu domínio seja igual a 1, que é uma propriedade fundamental de qualquer função de densidade de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função [f(x)). Ela é definida de duas maneiras dependendo do valor de
:
Isso significa que para é igual a
, e para
entre 1 e 2,
é apenas
.
Passo 3
Agora, para que
seja uma função de densidade de probabilidade válida, a área total sob a curva de
deve ser igual a 1. Matemáticamente, isso é expresso como:
Vamos dividir essa integral de acordo com as duas partes da função.
Passo 4
Primeiro, integramos
de 0 a 1:
Então, essa parte da integral dá
.
Passo 5
Depois, integramos
de 1 a 2:
Essa parte da integral resulta em
.
Passo 6
Agora, somamos as duas integrais e igualamos a 1:
Para resolver essa equação, vamos somar os termos com
:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Resposta
O valor da constante
é
, ou seja, a opção b)
.