Classifique as superficies quadráticas e esboce seus gráficos:
z=raiz1-x^2-y^2

Passo 1

O enunciado dá a superfície
z = raiz1 - x^2 - y^2
e pede (a) a classificação dentre as superfícies quadráticas e (b) o esboço do gráfico. Vamos precisar reescrever em forma implícita, reconhecer o tipo de quadricidade e descrever o domínio de definição.

Passo 2

Elevando ambos os lados ao quadrado obtemos
z^2 = 1 - x^2 - y^2 Longrightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 1
Essa é a equação de uma esfera de raio 1, centrada na origem.

Passo 3

Como a definição original impõe z = raizdots, vale sempre z>=0. Logo, em vez da esfera inteira, temos apenas a “metade” com z>=0. Tecnicamente, é a metade superior da esfera de raio 1, ou hemisfério superior.

Passo 4

O domínio de raiz1 - x^2 - y^2 exige
1 - x^2 - y^2 >= 0 Longrightarrow x^2 + y^2 <= 1,
e a raiz dá z>=0. Em cada reta paralela ao eixo z acima do disco x^2+y^2<=1, o ponto na superfície é único, dando justamente um hemisfério.

Passo 5

Para esboçar:
,
  1. No plano y=0 vemos a curva
x^2 + z^2 = 1, z>=0,
um semicírculo de raio 1.
2. Para cada y fixo com x^2+y^2<=1, há um ponto l(x,y,raiz1-x^2-y^2r) que está sobre esse “domo” esférico.
3. O esboço no espaço é uma cúpula arredondada, fechada embaixo pelo disco x^2+y^2<=1 no plano z=0.

Resposta

A superfície é um hemisfério superior de raio 1, isto é, a porção com z>=0 da esfera x^2+y^2+z^2=1.

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